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阿克曼函數
鎖定
阿克曼函數（Ackermann）是非原始遞歸函數的例子。它需要兩個自然數作為輸入值，輸出一個自然數。它的輸出值增長速度非常快，僅是對於(4,3)的輸出已大得不能準確計算。
- 中文名
- 阿克曼函數
- 外文名
- Ackermann
- 類 型
- 非原始遞歸函數的例子
- 特 點
- 輸出值增長速度非常高
阿克曼函數歷史
1920年代後期，數學家大衞·希爾伯特的學生Gabriel Sudan和威廉·阿克曼，當時正研究計算的基礎。Sudan發明了一個遞歸卻非原始遞歸的Sudan函數。1928年，阿克曼又獨立想出了另一個遞歸卻非原始遞歸的函數。[1]
他最初的念頭是一個三個變量的函數A(m,n,p)，使用康威鏈式箭號表示法是m→n→p。阿克曼證明了它是遞歸函數。希爾伯特在On the Infinite猜想這個函數不是原始遞歸函數。阿克曼在On Hilbert's Construction of the Real Numbers證明了這點。
阿克曼函數定義
若m>0且n=0，返回Ackermann(m-1,1)。
阿克曼函數意義
從Ackermann函數的定義中可以看出，Ackermann函數可以看成關於n的一個函數序列，其中第0個函數返回n+1，而第m個函數則是將第m-1個函數對1迭代n+1遍。對較小的m，該函數為：
Ackermann(0,n)=n+1
Ackermann(1,n)=n+2
Ackermann(2,n)=2*n+3
Ackermann(3,n)=2^(n+3)-3
Ackermann(4,n)=2^2^2^……^2-3，乘冪中共有n+3個2。
當m≥4，Ackermann函數的增長快得驚人。Ackermann(4,0)=13，Ackermann(4,1)=65533，Ackermann(4,2)=2^65536-3有19729位，而Ackermann(4,3)則即使是位數也不易估計。Ackermann(5,0)=65533，Ackermann(5,1)=Ackermann(4,65533)……
[2]
阿克曼函數反函數
單變量反Ackermann函數（簡稱反Ackermann函數）α(x)定義為最大的整數m使得Ackermann(m,m)≤x。從上面的討論中可以看到，因為Ackermann函數的增長很快，所以其反函數α(x)的增長是非常慢的，對所有在實際問題中有意義的x，α(x)≤4，所以在算法時間複雜度分析等問題中，可以把α(x)看成常數。
阿克曼函數計算代碼
阿克曼函數遞歸算法
int ack(int m,int n){
while(m!=0){
if( n==0) n=1;
else{
n=ack(m, n-1);}
m--;
}
return n+1;
}
阿克曼函數非遞歸算法一
int Ackermann(int m,int n)
{
int akm[m][n];
int i,j;
memset(akm,o,sizeof(akm));
for(j=0;j<n;j++)
akm[0][j]=j+1;
for(i=1;i<m;i++)
{
akm[0]=akm[i-1][1];
for(j=1;j<n;j++)
{
akm[j]=akm[i-1][akm[j-1]];
}
}
return akm[m][n];
}
阿克曼函數非遞歸算法二
stack s;
int ack(int m,int n)
{
int top=0;
s[top].mval=m;
s[top].nval=n;
do
{
while(s[top].mval)
{
while(s[top].nval)
{
top++;
s[top].mval=s[top-1].mval;
s[top].nval=s[top-1].nval-1;
}
s[top].mval--;
s[top].nval=1;
}
if(top>0)
{
top--;
s[top].mval--;
s[top].nval=s[top+1].nval+1;
}
}while(top!=0||s[top].mval!=0);
ack=s[top].nval+1;
top--;
}
