龐加萊引理

1872年玻耳茲曼在研究實際熱力學過程的不可逆性即熱力學第二定律的微觀本質時，曾根據非平衡態的分佈函數f（r，v，t）定義了一個函數H，並證明在孤立系統以非平衡態趨於平衡態的過程中，H隨時間單調下降，在平衡態達到最小值，這就是H定理。玻耳茲曼認為，H函數與熵對應，H的減少與熵的增大對應 ，H定理為熱力學第二定律提供了統計解釋。

但是龐加萊定理似乎與H定理相矛盾。根據龐加萊定理，當H函數隨時間單調地減少之後，只要經過足夠長的時間，總可以重新增大，回覆到初始的數值。

龐加萊引理(Poincare Lemma)論述單位球上微分形式的零調性質。該引理斷言:若U是歐氏空間

中開單位球體，

是U上微分k形式的空間，則對每個k≥1，存在一個線性變換

使得

這個引理有兩個推論:

1. 若ω是

中開單位球體上的一個k形式，且dω=0，則存在一個(k-1)形式β使得dβ=ω；

2.

中開單位球的德拉姆上同調羣對於p≥1都為零。 ^[1] 

論述力學體系運動可復性的定理。1872年L。玻耳茲曼在他的《氣體理論》一文中證明了一個重要的定理──H定理。H定理斷定：一個處於非平衡態的系統總是要單調地趨向平衡；而一個已經達到平衡的系統再自動地趨向非平衡是不可能的。那麼，自然會提出這樣的問題:平衡系統自動趨向非平衡是否完全不可能？如果不是完全不可能的，其可能性有多大？1896年E。策爾梅洛就根據J。-H。龐加萊定理研究了運動的可復性問題。

1890年龐加萊證明了下述定理:系統的Γ相空間（見相宇）中除了一個測度為零的點集以外，在t=0時使系統從相空間中任何一有界點P出發，則對於任意給定的一個小距離ε>0，都存在一個有限的時間t(ε)，在這時間間隔內，系統必經過相空間的一點P‵，而

。

由此定理可以看出運動的可復性。因為從中可以得到結論：放在封閉容器內的任何一個力學體系經過足夠長的時間後，總要回復到任意接近初始狀態的那個狀態上。由此可見，當H函數隨時間單調地減少以後，只要經過足夠長的時間，它將回復到初始的數值。這個結論似乎同宏觀不可逆性相牴觸，同玻耳茲曼H定理相矛盾。

玻耳茲曼對上述矛盾作了明確的回答:H定理具有統計的性質，它只是説非平衡態總以絕對優勢的幾率趨向平衡態，沒有完全否定由平衡態趨向非平衡態的可能性，並不完全排斥H的值偶然增加，運動回覆到原狀，只是幾率極其微小，因此反映統計規律的宏觀不可逆性同微觀可逆性並不矛盾。龐加萊定理雖然説明力學系統經過充分長的時間後總可以回覆到初始狀態附近，但是，根據龐加萊的證明，對於一般的氣體或液體，若單位體積含有的粒子數為1023的數量級，那麼回覆時間的數量級約為

秒，它比迄今知道的宇宙壽命還要大很多的數量級，比趨向平衡的時間大得簡直不可估量，它對所有宏觀物體來説，實際上可以看作是無窮大。於是得出結論：從熵小的狀態走向熵大的狀態幾乎是必然的；而從熵大的狀態走向熵小的狀態幾乎是不可能的。玻耳茲曼 H定理和龐加萊定理可以相容。