黎曼空間

若在n維矢量空間中有度規張量

，使得空間鄰近兩點

和

之間的距離由正定二次型

決定，則稱該矢量空間為黎曼空間。二次型

為黎曼空間的線元，

為黎曼空間的度規張量。定義曲線弧長的微分為

而任一條曲線

的弧長為

在黎曼空間中，關於標量、矢量和張量的定義類似於仿射空間，其運算法則也相仿。對於兩個矢量a和b的逆變的標量積定義為

兩個矢量的長度(模)分別為

兩個矢量的夾角餘弦為

我們所熟悉的三維歐氏空間，以及將在狹義相對論中討論的四維閔柯夫斯基空間，都是黎曼空間的特例。在三維歐氏空間中，利用笛卡爾直角座標系，令

，則空間鄰近兩點的距離平方公式為

則有相應的度規張量為

這表明：在笛卡爾直角座標系中，度規張量分量與空間點位無關。採用球座標系，令

，則空間鄰近兩點的距離平方公式為

因而，相應的度規張量為

可見，在三維歐氏空間中，若選用球座標系(曲線座標系)，則度規張量是點位座標的函數，隨點的位置變換而變化。

在閔柯夫斯基空間中，採用座標系的一維時間座標和三維空間座標，建立四維時空關係。取座標為

，則有不變距離公式為

式中，c為光速，座標分量採用長度量綱，則有度規張量為

式中，

表示四維閔柯夫斯基度規。

在黎曼空間中，若通過選取適當的座標系，使度規張量具有

的基本形式。則稱此空間為平坦的黎曼空間。 ^[1]