鬆弛

π[v]代表S到v的當前最短路徑中v點之前的一個點的編號,我們用下面的Θ(V)時間的過程來對最短路徑估計和前趨進行初始化。

INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G,s)

1for each vertex v∈V[G]

2do d[v]←∞

3 π[v]←NIL

4 d[s]←0

經過初始化以後，對所有v∈V，π[v]=NIL，對v∈V-{s}，有d[s]=0以及d[v]=∞。

在鬆弛一條邊(u,v)的過程中，要測試是否可以通過u，對迄今找到的v的最短路徑進行改進；如果可以改進的話，則更新d[v]和π[v]。一次鬆弛操作可以減小最短路徑估計的值d[v]，並更新v的前趨域π[v](S到v的當前最短路徑中v點之前的一個點的編號)。下面的偽代碼對邊(u,v)進行了一步鬆弛操作。

RELAX(u, v, w)

1if(d[v]＞d[u]+w(u,v))

2then d[v]←d[u]+w(u,v)

3 π[v]←u

每個單源最短路徑算法中都會調用INITIALIZE-SINGLE-SOURCE，然後重複對邊進行鬆弛的過程。另外，鬆弛是改變最短路徑和前趨的唯一方式。各個單源最短路徑算法間區別在於對每條邊進行鬆弛操作的次數，以及對邊執行鬆弛操作的次序有所不同。在Dijkstra算法以及關於有向無迴路圖的最短路徑算法中，對每條邊執行一次鬆弛操作。在Bellman-Ford算法中，每條邊要執行多次鬆弛操作。

^[1] 

順帶提一句，鬆弛操作的不等式與差分約束系統有着密不可分的關聯。