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高階無窮小
鎖定
- 中文名
- 高階無窮小
- 外文名
- infinitesimal of higher order
- 所屬學科
- 數學
- 相關概念
- 無窮小的階,同階、等價無窮小
高階無窮小基本概念
對於兩個無窮小量
和
,如果
,就把
叫做比
高階的無窮小量,並把
叫做比
低階的無窮小量;簡稱
是
的高階無窮小,
是
的低階無窮小,記成
。
高階無窮小概念分析
有一塊正方形的金屬片,它的邊長原來是3,受熱後增加了
,問這塊金屬片的面積增加了多少?
如圖1所示,設加熱前正方形金屬片的面積為
,即
,加熱後正方形金屬片的面積為
,即
容易看出,當
時,
,就是説,
和
都是當
時的無窮小。我們把它們趨近於零的快慢情況列表比較於下:
0.5 | 0.1 | 0.01 | 0.001 | ...... | → 0 | |
3 | 0.6 | 0.06 | 0.006 | ...... | → 0 | |
0.25 | 0.01 | 0.0001 | 0.000001 | ...... | → 0 |
從表中看出,當
時,
趨近零比
趨近零快得多,從它們的比值來看,就有
一般地,我們對兩個無窮小的比較作如下規定:
設
和
都是無窮小,如果
,我們就説
是比
高階的無窮小。
在實際問題的計算中,如果遇到幾個不同階的無窮小量之和,常常把高階無窮小忽略不計。例如,在計算上述正方形金屬片加熱後的面積時,如果
不大,就往往略去
項,而得到
高階無窮小無窮小量的比較
設
是同一變化過程中的無窮小,
這一過程中的極限,那麼:
(1)如果
,則稱
是比
高階的無窮小,記作
。
(2) 如果
,則稱
是比
低階的無窮小。
(4) 如果
,則稱
與
是等價無窮小,記作
。
高階無窮小常用的等價無窮小
當
時,