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高斯消元法
鎖定
- 中文名
- 高斯消元法
- 外文名
- GaussianElimination
- 命 名
- 高斯
- 最早出現
- 《九章算術》
- 類 別
- 線性代數算法
- 其他應用
- 找出逆矩陣
高斯消元法定義簡介
數學上,高斯消元法(或譯:高斯消去法),是線性代數規劃中的一個算法,可用來為線性方程組求解。但其算法十分複雜,不常用於加減消元法,求出矩陣的秩,以及求出可逆方陣的逆矩陣。不過,如果有過百萬條等式時,這個算法會十分省時。一些極大的方程組通常會用迭代法以及花式消元來解決。當用於一個矩陣時,高斯消元法會產生出一個“行梯陣式”。高斯消元法可以用在電腦中來解決數千條等式及未知數。亦有一些方法特地用來解決一些有特別排列的係數的方程組。
高斯消元法定義歷史
高斯消元法定義原理
內容
消元法是將方程組中的一方程的未知數用含有另一未知數的代數式表示,並將其代入到另一方程中,這就消去了一未知數,得到一解;或將方程組中的一方程倍乘某個常數加到另外一方程中去,也可達到消去一未知數的目的。消元法主要用於二元一次方程組的求解。
核心
1)兩方程互換,解不變;
2)一方程乘以非零數k,解不變;
高斯消元法舉例説明
例如,考慮下面的矩陣
為了找到這個矩陣的逆矩陣,擴充以下矩陣:
求得B為A的逆矩陣。
高斯消元法其他應用
找出逆矩陣
高斯消元法可以用來找出一個可逆矩陣的逆矩陣。設A 為一個N * N的矩陣,其逆矩陣可被兩個分塊矩陣表示出來。將一個N * N單位矩陣 放在A 的右手邊,形成一個N * 2N的分塊矩陣B = [A,I] 。經過高斯消元法的計算程序後,矩陣B 的左手邊會變成一個單位矩陣I ,而逆矩陣A ^(-1) 會出現在B 的右手邊。
假如高斯消元法不能將A 化為三角形的格式,那就代表A 是一個不可逆的矩陣。
計出秩的基本算法
高斯消元法可應用在任何m * n的矩陣A。在不可減去某數的情況下,我們都只有跳到下一行。以一個6 * 9的矩陣作例,它可以變化為一個行梯陣式:
1 * 0 0 * * 0 * 0
0 0 1 0 * * 0 * 0
0 0 0 1 * * 0 * 0
0 0 0 0 0 0 1 * 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0
而矩陣中的 *' 是一些數字。這個梯陣式的矩陣T 會有一些關於A的資訊:
A 的秩是5,因為T 有5行非0的行;
高斯消元法應用分析
高斯消元法可用在任何域中。
高斯消元法對於一些矩陣來説是穩定的。對於普遍的矩陣來説,高斯消元法在應用上通常也是穩定的,不過亦有例外。
[1]
高斯消元法偽代碼
高斯消元法的其中一種偽代碼:
i=1 j=1 while(i≤mandj≤n)do Find pivot in column j,starting in row i: maxi:=i fork:=i+1tomdo ifabs(A[k,j])>abs(A[maxi,j])then maxi:=k endif endfor ifA[maxi,j]≠0then swap rows i and max i,but do not change the value of i Now A[i,j]will contain the old value of A[maxi,j]. divide each entry in row i by A[i,j] Now A[i,j] will have the value 1. foru:=i+1tomdo subtractA[u,j]*rowifromrowu NowA[u,j]willbe0,sinceA[u,j]-A[i,j]*A[u,j]=A[u,j]-1*A[u,j]=0. endfor i=i+1 endif j=j+1 endwhile output subtractA[u,j]
這個算法和之前談及的有點兒不同,它由絕對值最大的部分開始做起,這樣可以改善算法上的穩定性。將經過調換後的第一列作為起點,這算法由左至右地計算。每作出以下兩個步驟,才跳到下一列:
1.定出每列的最後一個非0的數,將每行的數字除以該數,使到每行的第一個數成為1;
2.將每行的數字減去第一行的第一個數的某個倍數。
線性方程組其實是相當容易解決的,基本的思想就是消元。但是當未知數較多時,解起來也蠻頭疼的。在這裏向大家介紹高斯消元法。例如解如下四元一次方程組:
除去各未知數,將各數排在一起,成為矩陣:
為方便起見,用r2+r1表示把第一行各數加到第二行對應數上。
r3-3*r1, r4-4*r1,r3+4*r2, r4+3*r2,r4-2*r3,可得矩陣:
化為方程組形式則為:
從而,可得:
X4=4
X3=3
X2=2
X1=1.
- 參考資料
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- 1. 改進高斯消元算法在電力系統拓撲結構分析中的應用 .中國知網[引用日期2015-04-15]
- 2. 文傳軍,許定亮,華婷等.高斯消元五步驟法[J].常州工學院學報,2012,25(6):50-53. .萬方數據庫[引用日期2017-08-30]