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高斯係數

高斯係數(Gaussian coefficient)是一類組合數，設X是有限域GF(q)上的n維向量空間，X的全部k維子空間的個數稱為高斯係數，高斯係數有一系列與二項式係數相仿的等式，從而，高斯係數也稱為高斯二項式係數^[1] 。

高斯係數基本介紹

定義設m，n是非負整數，n≥m>0，引進記號

如果m>0和

，並把它們稱為高斯係數。

設F_q是q元有限域，q是一個素數冪，再設n和m都是非負整數，

是F_q上的n維行向量空間，那麼

中m維子空間的個數恰好是式(1)右邊^[2] 。

高斯係數有如下簡單性質^[2] 。

定理1 設m和n都是非負整數，而q≠1，

(1)

(2)如果o≤n<m，那麼

(3)如果0≤m≤n，那麼

定理2設m≥1，q≠1，那麼

定理3 設y是未定元，而n是非負整數，那麼

在定理3中令y取-1，可得下面的推論^[2] 。

推論1 設n是非負整數，q≠1，那麼

推論2(Goldman，Rota，1970) 若

和

滿足下列方程

則

這與麥比烏斯反演異曲同工。

1882年西爾維斯特(Sylvester)證明了如下有趣的結果

其中a_p是p分為最多k部分，每部分不超過n-k的劃分數^[2] 。

參考資料

1. 匡繼昌．常用不等式第3版=Applied Inequalities 3nd ed：山東科學技術出版社，2004.01：第104頁
2. 佩捷，王蘭新等．從麥比烏斯到陳省身：麥比烏斯變換與麥比烏斯帶=ROM MOBIUS TO SHIING-SHEN CHERN:MOBIUS TRANSFORMATION AND MOBIUS STRIP：哈爾濱工業大學出版社，2014.02：第143頁

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