餘數定理

在解決高次方程時，下面的定理是有用的，把這個定理稱為餘數定理

餘數定理：用x-α去除多項式

所得的餘式等於這個多項式在x=α處的值，即等於　

。 ^[4] 

為了證明這個定理，我們用x-α去除多項式f(x)，得到商q(x)和餘式r(x)。這個餘式是次數低於除數x-α的多項式，即是零次的，因此r(x)=r是個常數。

於是f(x)=(x-α)q(x)+r

為了得到常數r，把x=α帶入這個等式，得到f(α)=r。餘數定理證畢。 ^[4] 

如果數α是多項式f(x)的根（即f(α)=0），那麼用x-α去除這個多項式沒有餘數。

例如，從這個定理可以知道，用x-α去除多項式

沒有餘數,事實上，用α代替x得到

。建議讀者證明：多項式

和

能被x+α除盡。 ^[4] 

餘數定理可以用來求餘數，要求f(x)除以一次式x-b時，只需以b代入多項式f(x)中的x即得，在計算時以用綜合除法為便。餘數定理主要用於分解因式，若能檢驗出有一個常數b能使f(b)=0，則f(x就有了一個因子(x-b)在解方程f(x)=0的過程中，可以逐次用視察法與綜合除法結合，求出f（x）的一個因式，就可以將求解的方程次數降低一次。 ^[5] 

一盤圍棋下完後，同學甲突然問同學乙：“棋盤上黑子有多少？”同學乙將棋盤上黑子數了一下，似乎有所悟，只是説：“如果三個三個地數，最後餘下兩個，五個五個地數，最後餘下三個，七個七個地數，最後餘下四個。棋盤上黑子的數目正好符合這個情況。”説完他們倆都會心地笑了。

棋盤上黑子到底有多少個呢？原來他們正好碰上類似《孫子算經》中講到的一道題了。《孫子算經》是中國古代的一部優秀數學著作。對這類問題，中國古代數學史上還稱為“鬼谷算”“秦王暗點兵”“剪管術”“隔牆算”“神奇妙算”“大行求一術”等等。

這個問題的解法並不難。用數學語言敍述這道題就是：某數除以3餘2，除以5餘3，除以7餘4，求某數。

我們先來考慮一下什麼數除以3餘2？很清楚，既然2是餘數，那麼把2再加上3得5，5除以3還是餘2。繼續這樣做，5+3得8，它除了除以3餘2外，而且除以5餘數是3。8是同時滿足上述問題中，“三個三個地數，最後餘下兩個，五個五個地數，最後餘下三個”這兩個條件的。最後再在8這個數上每次加15（3和5的最小公倍數）。

8+15=23，23+15=38，38+15=53。我們發覺53不但除以3餘2，除以5餘3，而且被7除餘4。這樣答數就是53了。當然，53是符合上述問題要求的最小一個正整數，除此之外還有；53+105=158，158+105=263……等等，它們都有此性質。一個棋盤上共有19²=361格，這兩位同學經過了一百多次來回的廝殺，才宣告戰鬥結束。於是可以知道棋盤上黑子共有158個。這個問題的解題思路是，先從用3去除餘2的數中去找用5去除餘3的數，再從“3除餘2，5除餘3”的數中去找用7去除餘4的數，並得到答數。

古人經過精心研究，找出解題規律，並用口訣形式來表示：“三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓正半月，除百零五便得知。”它的意思是用：70乘“3除”所得的餘數，21乘“5除”所得的餘數，15乘“7除”所得餘數，然後總加起來。如果它大於105，則減105，還大再減，直到最後得到答數。

具體算式是：70×2+21×3+15×4=263，263-105=158，158-105=53。這裏挑選了70，21，15去乘餘數，主要是考慮到70是3除餘1，5與7都除盡的數；21是5除餘1，3與7都除盡的數；15是7除餘1，3與5都除盡的數；而105又是3，5，7都能除盡的數。

有了這個口訣後，我們可以做各種各樣餘數的這一類題目了。不妨再舉一例：某數除以3餘1，除以5餘2，除以7餘6，求某數。

具體算法如下：70×1+21×2+15×6=202，202-105=97。所以某數是97。驗算一下果真不差。

這個向題以及它的解法得到世界各國的數學家重視，大家都把它叫做“孫子定理”或“中國餘數定理”。而且在電子計算機的設計中也有它的重要應用。 ^[6]