頻譜密度

任何表現於時間或空間距離上有複雜振動的形式的變量，都可以分解為許多不同振幅和不同頻率的諧振，把這些諧振的振幅值按頻率（或週期）排列的圖形。可用作傳送信息的電磁波或振盪的頻率集合。

頻譜就是頻率的分佈曲線，複雜振盪可以分解為振幅不同和頻率不同的諧振盪，這些諧振盪的幅值按頻率排列的圖形叫做頻譜。廣泛應用在聲學、光學和無線電技術等方面。頻譜是頻率譜密度的簡稱。它將對信號的研究從時域引到頻域，從而帶來更直觀的認識。

設一個能量信號為

，則它的頻譜密度

可以由傅里葉變換求得：

。

能量信號的頻譜密度和功率信號的頻譜主要區別有：（1）頻譜密度是連續譜，而功率信號的頻譜是離散譜；（2）頻譜密度單位是幅度/頻率，而功率信號的頻譜單位是幅度；（3）能量信號的能量有限，並連續的分佈在頻率軸上，每個頻率點上的信號幅度是無窮小的，只有df上才有確定的非0振幅；（4）功率信號的功率有限，但能量無限，它在無限多的離散頻率點上有確定的非0振幅。

在進行頻譜的理論分析時，對週期信號

，要用傅氏級數（FS）對其進行處理，得到：

，

。其中，

為週期信號

的頻譜函數。

在頻域座標系上，幅值-頻率圖形如圖1所示，稱為週期信號的頻譜圖（幅-頻圖）。由圖可見，週期信號的頻譜圖是離散的，只有在

時有值，其幅值

與信號

具有相同的量綱，且相對應兩條譜線（例如n=±3）之和表示該階諧波（例第三階）的真實幅值。 ^[1] 

對非週期信號

，則要用傅式變換（FT）對其進行處理，得到：

，

。

稱為信號

的頻譜密度函數。在頻域座標系上，典型的幅值密度-頻率圖如圖2所示，稱為信號

的頻譜密度圖。

由圖2可見，非週期信號的頻譜密度圖是連續的。其縱座標表示信號的幅值密度，而不是諧波的幅值，其量綱是：信號量綱/Hz。

FFT信號分析儀的工作原理是離散傅里葉變換，即DFT。對信號

進行DFT，實質上包含幾個環節：時域採樣（時域離散化）、時域截斷（加窗）和頻域採樣（頻域離散化）。根據傅氏變換的性質，在頻域採樣過程中，實際上是對時域信號的週期化。即此時參與變換的信號不再是原信號

，而是以窗寬T為週期的信號

。既然是週期信號，經變換後所得到自然是該信號的頻譜函數

，稱之為信號

的FFT譜或線性譜。典型的FFT譜如圖3所示（單邊顯示）。

與週期函數的頻譜圖相似，信號的

的FFT譜是離散的，其幅值具有與信號相同的量綱。

由於

是複函數，在工程應用中不夠方便，為此常將其與複共軛相乘，得到其功率譜（PowerSpectrum），即

，其中：

是

的複共軛。功率譜P_s是實函數，是

的平方，不僅使用方便而且其特徵更加突出。

當採用不同的頻率分辨率

進行信號分析時，儘管對其某一信號

的功率譜具有相似的波形，但其各點的功率譜值卻是不同的，

越大，所得到的功率譜值也就越大。這樣不便於採用不同分析頻段（

亦不同）時所得結果間的比較。於是，在信號分析儀上又定義了功率譜密度的概念，即：

，式中，

為等效濾波器帶寬，是用頻率分辨率乘以所選窗函數的窄帶修正因子。對於矩形窗、力窗和指數窗，

=

。

在某些工程中，還要用到能量譜的分析，於是在信號分析儀中又定義能量譜密度，即：

，其中：T為所分析信號的時間記錄長度。

（1）當對信號進行基於FT的理論分析時，對週期信號傅氏分解，得到其離散化的頻譜函數

。而對非週期信號，應用傅氏變換，得到的是信號的頻譜密度函數

。

（2）當使用FFT信號分析儀進行信號分析時。由於DFT的週期化處理，所得到的是信號的頻譜函數

，而並非頻譜密度函數

。

（3）在信號分析儀上，功率譜密度是根據頻譜函數

的運算而得到的，是為了方便工程運算結果的比

較，與理論分析中的頻譜密度函數

不同。 ^[2]