韋伊猜想

1934年，德國數學家哈塞(Hasse, H. )證明了橢圓曲線上的黎曼猜想.到了20世紀40年代，法國數學家韋伊(Weil , A.)證明了關於代數域上的黎曼猜想，並由此提出了一般簇的黎曼猜想，即著名的韋伊猜想:設k是具有q個元素的有限域，V為在k上定義的n維非奇完備代數簇，設k的m擴張為k，及座標取自k二中的V的點的個數為N, ,則由d，~，-1 n乙(u，V)=au藝N,u‘一’及初始條件Z(O,V)=1所定義的u的函數Z(u,V)，稱為有限域k上的代數簇V的同餘誇函數，則:

1. Z(u,V)是u的有理函數.

2. Z(u,V)滿足一個函數方程，它與黎曼誇函數所滿足的函數方程相類似.

3. Z(u,V)的零點的絕對值是q-z的奇數次冪，極點的絕對值是q告的偶數次冪.

4.設vto，是在某個有限次代數數域K上定義的非奇的完備代數簇，且Vo’模約化為V，如果V ＜o(作為2n維的實解析代數簇)的h維貝蒂(Betti )數為B孟。’，則有B孟0'=BhCh=0,1,..,2n.

1949年，韋伊猜想一提出，就吸引了許多著名數學家.到了20世紀60年代，這一猜想成為代數幾何學的中心問題，人們為解決猜想引進了許多新工具，發展了一些新的理論.韋伊本人證明了上述猜想的一些重要特殊情形.1960年，德沃克(Dwork , B.)證明了猜想1;法國數學家格羅騰迪克(Grothen -dieck, A.)為了證明韋伊猜想而擬訂了一個龐大的代數幾何研究計劃，他證明了猜想1和2;比利時數學家德利涅(Deligne,P.)受他的老師格羅騰迪克的影響，基本上按照他制定的研究方向加以延伸和發展，並以其廣博的知識、敏鋭的思想，於1973年證明了全部猜想.由此發展出一系列重要結果，是20世紀70年代純數學領域中取得的最輝煌成就之一，1974年，德利涅獲比利時皇家科學院頒發的法郎士·德儒茨獎，1978年榮獲菲爾茲獎. ^[1]