面心晶格

鑑於許多金屬如金、銀、銅及半導體材料硅、鍺等的晶格結構屬於面心立方晶格，因此研究面心立方晶格的能帶結構對金屬與半導體材料性質的認識有着重要的意義。利用Matlab對面心立方晶格在緊束縛近似下的s態能帶的等能面進行計算機模擬，得到簡約布里淵區內的不同能量值等能面的三維清晰圖像。其中，既有類似近自由電子的準球面，也有與實驗獲得的金屬費米麪相似的曲面，直觀地展現了面心立方單晶s態能帶在狀態空間的結構形態。 ^[1] 

根據Bloch定理可以證明，晶體的電子能帶具有周期性，即E( k + G_n ) = E( k)式中： G_n為倒格矢。因此，只要研究清楚一個倒格子原胞 ( 取簡約布里淵區) 的情況即可。面心立方晶格的倒格子為體心立方格子。利用Matlab可作出面心立方晶格簡約布里淵區的圖像，它是一個截角八面體( 十四面體) 。

要掌握面心立方晶格能帶結構詳情，就要給出相應能帶的等能面在狀態空間的一個區域內的變化圖像。 ^[1] 

1)Matlab符號的表達式為：

val = ( cos( 0.5* pi* x) * cos( 0.5* pi* y) +cos( 0.5* pi* y) * cos( 0.5* pi* z) +cos( 0.5* pi* z) * cos( 0.5* pi* x) )；表達式中，val 即為 λ。

2) 構建三維數組，生成三維網格：[x，y，z]= meshgrid( linspace( － 2，2，n) )；其中，n為linspace生成的一維數組中元素的個數，已事先定義。 ^[1] 

3) 限制圖形繪製範圍若不對 x，y，z進行限制，以上等能面將在倒格子單胞裏繪製，故要把簡約布里淵區以外的圖形切掉，只保留面心立方晶格的簡約布里淵區所示的十四面體中的等能面部分，這是關鍵的一步。轉化為 Matlab命令，可用一個循環控制語句來實現：其中，不等式方程為簡約布里淵區以外的部分。該循環語句將簡約布里淵區以外的val設為非數，從而實現了三維圖形的切割，以便得到簡約布里淵區內等能面的清晰圖像。

4) 用isosurface，patch，set命令繪製等能面圖像，並對圖形屬性進行設置。

5) 繪製布里淵區輪廓。利用Matlab的片塊繪圖命令patch繪製布里淵區，在繪製前需將布里淵區頂點座標和邊界面各多邊形片塊的頂點索引並編成數組。

6) 對視角、光照效果和座標軸進行設置 ^[1] 

從面心立方晶格在緊束縛近似下等能面的模擬繪圖結果可以看出：

1) 簡約布里淵區等能面在能量取值較小時與近自由電子等能面的“準球面”相似。

2) 隨着電子能量增加，等能面的形狀變化越來越大，但是，不管形狀如何變化，這些等能面的宏觀對稱性都保持不變，也就是立方體的對稱性。

3) 當抵達布里淵區的邊界時，等能面將產生破裂，等能面與布里淵區的邊界趨於垂直。

4) 接近能帶頂部，等能面與半導體材料的費米麪相差較。通過修正能帶公式，可以得到與實際相符的結果。

5) 改變作圖區間，可以得到等能面的三維拓展圖式。以E=εs－J0+0.8J1為例，等能面拓展圖式。

6) 利用Matlab圖形旋轉功能，可以使等能面發生三維旋轉，使得抽象的概念能夠形象、生動地展現出來，為避免冗長。 ^[1] 

理論分析指出，用4束光干涉可形成大部分的布拉格光學晶格點陣。實驗製作中利用3個光柵對1束平行光進行衍射，進而得到所需的光束偏轉角度，並製作出晶格常量在亞微米量級的面心立方的光學晶格結構，晶格常量和計算結果相符。 ^[2] 

用2束、3束光分別 能 形成1維、2維的光強分佈的週期格陣。用多束光形成3維光強分佈的週期格陣。計算結果發現14種基本的布拉格點陣大部分能通過多光束干涉構成。基於對稱性的考慮，要構成3維週期的相干圖樣，至少需要4束對稱排列的入射光。取球座標的原點作為相干區域的中心點。每束光的極角和方位角分別用θ和φ表示。其中第1和第2束在A平面內，第3和第4束在B平面內，且平面內的每束光與另一平面的每束光的極角互補。如果平面A與 B不垂直，得到的圖樣為體心單斜或四方晶格點陣，否則為體心正方點陣。當極角為某些確定值時，變為正立方點陣。可以看到，光束1和2以及光束3和4幾乎要從2個相反的方向射向原點。這在實驗 安排上很困難。因此， 採用了一種實用光路，使光束從相同的半空間內射向原點。模擬計算表明，讓第1束光與z軸同向，另3束光以相同的極角射向原點。另3束光之間的夾角兩兩相等，即方位角差均為120°時，光學晶格為面心結構。當第2，3束光位於A面，並對稱地分佈在z軸兩側。第4束光位於B面。此時光學晶格為體心四方。 ^[2] 

採用Berger等人的方法，利用多個光柵對1束平行光進行衍射，進而得到所需的光束偏轉角度。採用實驗光路製作光柵母板。採用 Meils　Griot的85－BLT－601型激光器，輸出波長為 457。9nm，輸出功率為330mW，線寬為200kHz。製作實驗中使用1μm厚的光刻膠。使用該光路進行1次曝光的光柵照片 （放大1000倍），實驗中2束光的夾角39°。

實驗中將全息底片固定在可以旋轉360°並且帶有準確刻度的圓盤上，並在其前方緊貼光刻膠的位置放置遮光罩，僅在需要曝光的位置開孔，以此來儘量減少曝光時對感光底片其他區域造成的影響。第1次曝光後之後，讓底片旋轉120°，曝光得到第2個光柵，再旋轉120°，曝光製作出第3個光柵。經過顯影、定影后，形成3個光柵的分佈，這就是實驗製作面心立方結構所需要的光柵母板。用平行光束垂直入射到母板，用功率計測量光通過光柵前後的光強大小，測出光柵衍射效率可以達到40%。 ^[2] 

當平行光射到母板上時，光經3個光柵發生衍射。中間不經過光柵的透射光與3束衍射光相交。通過控制光柵常量及光柵的空間方位，可使3束衍射光之間及與中間透射光之間的角度等於39°，這一角度滿足製作面心立方結構的要求。從而形成面心立方結構的光學晶格結構。

實驗中所用的記錄介質為厚度36μm的重鉻酸鹽明膠（DCG）。由於重鉻酸鹽明膠全息圖是由折射率變化導致的純相位分佈結構，而沒有表面的浮雕結構和介質內部的空隙，因此，無法得到電鏡片，只能通過可見光觀察。當用可見光照射時，折射率的空間變化導致透射光強的空間分佈，由此顯示出介質內部的結 構。用裝有CCD相機的1200倍顯微鏡在可見光下觀察並拍攝其晶格結構。 ^[2]