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非退化矩陣
鎖定
- 中文名
- 非退化矩陣
- 外文名
- non-degenerate matrix
- 所屬學科
- 數學
- 別 名
- 非(奇)異矩陣,滿秩矩陣等
- 特 點
- n階方陣A的行列式|A|≠0
- 充要條件
- A是非退化充要條件為A是可逆矩陣
- 類 型
- 數學術語
非退化矩陣基本介紹
先引進逆矩陣的概念。
對給定的矩陣A,如果存在矩陣B,使成立
非退化矩陣相關結論
定理 如果A是非退化陣,則其逆陣是惟一的。
證: 可用同一法證明結論。設
是對非退化陣A的適合式(1)的任意兩個矩陣,則必有
。事實上,根據
以及下文式(2),有
在證明過程中巧用式(2)以及式(1)的做法,稱之為單位陣技巧,這是在證明矩陣等式中時常有用的一種技巧,
由於可逆陣A的逆陣為惟一確定,故可記之為
,有
這樣,由逆陣概念可容易地推知,單位陣必為非退化陣,且其逆陣即為自身,即有
定理 對m×n矩陣A,有
在有可能用上這些明顯等式時,能簡化矩陣乘法的運算過程。
由於矩陣乘法是滿足結合律的,在一個方陣自乘若干次的情形,使用冪指數的記號是既合理又可帶來便利的。若k是個自然數,定義(規定
)
結論 一個n×n矩陣是非退化的充要條件是它的秩等於n。
推論 設A,B都是數域F上的n×n矩陣,矩陣AB為退化的充要條件是A,B中至少有一個是退化的。