非線性迴歸預測法

線性迴歸模型分析的線性經濟變量關係只是經濟變量關係中的特例，現實中的多數經濟變量關係是非線性的。

對於無法通過初等數學變換轉化為線性迴歸模型的非線性經濟變量關係，必須直接用非線性變量關係進行分析。

即使非線性變量關係可以通過初等數學變換轉化為線性模型，也可能造成模型隨機誤差項性質的改變，這種情況下，常常也是直接作為非線性模型進行分析比較有利。

非線性模型計量經濟分析的基本思路與線性模型是相似的，仍然可以以迴歸分析為核心，稱為“非線性迴歸分析”。

選擇迴歸函數的具體形式應遵循以下原則：

第一，函數形式應與經濟學的基本理論相一致；

如：生產函數常採用冪函數的形式；成本函數常採用多項式方程的形式等。

第二，方程有較高的擬合優度；説明了函數形式選取較為適當。

第三，函數的形式儘可能簡單。

非線性迴歸預測模型有很多，其中除“直線迴歸方程（LIN）”外的對數曲線方程（LOG）、反函數曲線方程（INV）、二次曲線方程（拋物線）（QUA）、三次曲線方程（CUB）、複合曲線方程（COM）、冪函數曲線方程（POW）、S形曲線方程（S）、生長曲線方程（GRO）、指數曲線方程（EXP）與logistic曲線方程（LGS）等均為非線性迴歸方程。當然還有雙曲線迴歸方程、超指數曲線方程等許多非線性迴歸方程，可用於預測預報。

1、拋物線函數：

Y = a + bX + cX²

2、雙曲線函數：

Y=a+b(1/X)

3、冪函數：

4、指數函數：

Y = abX

5、對數函數：

Y=a+bln(X)

6、S形曲線函數：

其中:L，a, b＞0， 稱該函數為邏輯曲線

7、多項式方程：

非線性迴歸函數模型常常採用將其線性化後，採用線性方程形式進行估計的。常用的變換方法有如下幾種：

（1）、倒數變換

如，對雙曲線函數，設Z=1/X，則原函數化為如下線性形式：

Y=a+bZ

（2）、半對數變換

如，對對數函數，設Z=lnX，則原函數變換為：

Y=a+bZ

在實際問題中，當變量之間的相關關係不是線性相關關係時，不能用線性迴歸方程描述它們之間的相關關係，需要進行非線性迴歸分析，然而，非線性迴歸方程一般很難求，因此，把非線性迴歸化為線性迴歸應該説是解決問題的好方法。

首先，所研究對象的物理背景或散點圖可幫助我們選擇適當的非線性迴歸方程

其中a及b為未知參數(在此僅討論含兩個參數的非線性迴歸方程) ，為求參數a及b的估計值，往往可以先通過變量置換，把非線性迴歸化為線性迴歸，再利用線性迴歸的方法確定參數及b的估計值。

下面列出常用的曲線方程及其圖形，並給出相應的化為線性方程的變量置換公式。以幫助我們觀察散點圖確定迴歸方程的類型。不過，值得注意的是，散點圖畢竟只是相關關係的粗略表示，有時散點圖可能與幾種曲線都很接近，這時建立相應的迴歸方程可能都是合理的，但一個非線性迴歸問題，由於選擇不同的非線性迴歸，得到同一個問題的多個不同迴歸方程，哪一個迴歸方程最優呢? 對於能化為一元線性迴歸的問題，可通過計算樣本相關係數的辦法來解決，樣本相關係數的絕對值最大的對應最優的迴歸方程。

曲線方程 變換公式 變換後的線性方程曲線圖形

Y=a+bX

y = axb X=ln x

Y=ln y Y=a'+bX(a'=ln x)

y=a+b ln x X=ln x

Y=y Y=a+bX

y = aebx X=x

Y=ln y Y=a'+bX(a'=ln x)

Y=ln y Y=a'+bX(a'=ln x) ^[1]