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非奇異線性變換

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非奇異線性變換(nonsingular linear transfor-mation)是一類重要的線性變換。設V是域P上的線性空間，σ∈HomP(V，V)，若存在λ∈HomP(V，V)，使λσ=E(單位線性變換)，則稱σ為非奇異線性變換；否則，稱為奇異線性變換。經過非退化的線性替換，新二次型的矩陣與原二次型的矩陣是合同的。 [1] 
中文名
非奇異線性變換
外文名
nonsingular linear transfor-mation
本    質
線性變換
對    應
奇異線性變換
別    名
非退化線性變換
學    科
數學

目錄

  1. 1 一般定義
  2. 2 線性代數中的定義
  3. 3 性質

非奇異線性變換一般定義

定義1.1 設V是域P上的線性空間，σ∈HomP(V，V)，若存在λ∈HomP(V，V)，使λσ=E(單位線性變換)，則稱σ為非奇異線性變換；否則，稱為奇異線性變換。 [1] 
注：當dim V=n時，非奇異線性變換亦稱為非退化線性變換，或滿秩線性變換，或正則線性變換。在dim V=n的條件下，σ是可逆的充分必要條件為σ是非奇異的，因此，在有限維的條件下也可以説非奇異線性變換就是可逆線性變換。 [1] 

非奇異線性變換線性代數中的定義

定義1.2 設x1，x2，...，xn；y1，y2，...，yn是兩組文字，係數在數域P中的一組關係式：
稱為由x1，x2，...，xn到y1，y2，...，yn的一個線性替換，或簡稱線性替換。如果係數行列式
那麼上述線性替換就稱為非退化的。 [2] 
例如 [2]  ，在解析幾何中，我們看到，當座標原點與中心重合，一個有心二次曲線的一般方程是
為了便於研究這個二次曲線的幾何性質，我們可以選擇適當的角度θ，作轉軸（反時針方向轉軸）
把方程
化成標準方程。
如果把
看成線性替換，那麼它就是非退化的，因為

非奇異線性變換性質

1. [2]  因為二次型和它的矩陣是相互唯一決定的，令
故線性替換
可以寫成
2. [2]  經過一個非退化的線性替換，二次型還是變成二次型。具體地：設
是一個二次型，作非退化線性替換
我們可以得到一個
的二次型
故有
容易看出，矩陣
也是對稱的，這就是前後兩個二次型的關係。
3. [2]  經過非退化的線性替換，新二次型的矩陣與原二次型的矩陣是合同的。
參考資料
  • 1.    《數學辭海》編輯委員會 ．數學辭海·第二卷：中國科學技術出版社，2002
  • 2.    王萼芳，石生明．高等代數.第三版：高等教育出版社，2003