非交換幾何學

Connes的非交換幾何學 2005-12-24 14:22:38

在2001年1月24日舉行的瑞典皇家科學院全體會議決定將2001年度的Crafoord獎授予高等科學研究院（IHES）和法蘭西學院（Coll\`ege de France）的教授，數學家Alain Connes，表彰他在算子代數領域做出了重要工作並且和他人一起開創了非交換幾何這一分支.

法國數學家Alain Connes在算子代數理論中開拓了新的研究途徑，並且是非交換幾何的創始人之一.對於這一全新的數學領域的建立Connes的作用是決定性的.

[法國數學會會刊Gazette des math\'ematiciens在2002年10月（總第94號）發表了George Skandalis關於非交換幾何的一篇簡介.Skandalis是希臘人，高中時代赴法國求學，在巴黎的Louis-le-Grand中學和日後得到Fields獎的Pierre-Louis Lions以及Jean-Christophe Yoccoz同班，此後進入巴黎高師學習，再往後跟Alain Connes做博士論文，是Connes的第一個學生。90年ICM做邀請報告，是巴黎七大教授，Bourbaki所有[\,\,]中的文字均為譯註。感謝南開大學馮惠濤老師的幫助.

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\heiti{Alain Connes的非交換幾何學：譜三元組的概念}\songti什麼是Alain Connes的非交換幾何學？首先，我們有從幾何，調和分析，物理，乃至數論中來的眾多例子

\dots 最重要的出發點是物理：我們希望把相對論（也就是黎曼幾何）和量子力學（也就是非交換的結構）結合在一起.

在這裏我將介紹這一理論的若干方面。本質上這是一篇非技術性的文字.如果在有些地方我是用了一些專門的術語的話，那是希望能夠對熟悉行話的讀者有所幫助，但是對於不熟悉這些的讀者來説，這也不會成為一個障礙.

對於（局部）緊空間這個概念，$C^*$代數理論給出了一個很好的非交換的類比： 我們回顧一下，所謂$C^*$代數$A$首

先是一個Banach代數，其上具有一個對合（involution)$a\mapsto a^*$（共軛線性並且對$a,b\in A$滿足$(ab)^*=b^* a^*)$,此外要求對於所有的$a\in A$，我們有$\|a^* a\|=\|a\|^2$.

\noindent 所有的交換$C^*$代數全體恰好就是所有（局部）緊的拓撲空間上的（在無窮遠趨向於0的）連續函數構成的Banach代數全體[這是Gel'fand-Naimark定理].因此我們可以把非交換的$C^*$代數視為“非交換的（局部）緊空間”.

Connes的非交換幾何的目的就是想把一些幾何的工具應用到一些自然的非交換$C^*$代數上.我們可以把這些$C^*$代數視為“非交換微分流形”.有一些工具是可以直接搬到非交換的框架裏的，比如向量叢理論，對應到[有限]射影模理論，可以由K-理論來刻劃. de Rham上同調要搬過去就稍微困難一點，它的非交換對應是Connes的循環上同調理論（[一般來説，大家承認Boris Tsygan是和Connes相互獨立發展出這一套理論的]，那是非交換幾何最早的成功之一.一步一步的，Connes在這個循環同調的框架裏面構造了基本閉鏈（fundamental cycle），微分形式，聯絡，以及若干幾何中常用概念的非交換對應。

我們在研究中希望能夠對一些[在算子代數研究中已知的]自然的例子應用那些幾何的觀點：

---有限生成羣的對偶.設$\Gamma$是一個羣。我們可以自然的有一個代數$\mathbb\Gamma$與之相關聯：以$(u_g)_{g\in\Gamma}$為基的複線性空間，其上的乘法定義為$u_g u_h =u_$（對於$g,h\in \Gamma$).它在Hilbert空間$\ell^2(\Gamma)$上的正則表示（regular representation）的閉包$C^*_r(\Gamma)$是一個$C^*$代數，稱為$\Gamma$的約化$C^*$代數（reduced $C^*$-algebra).

注意在有些情況下我們還可以研究對$\mathbb\Gamma$做另外一種完備化得到的$C^*$代數，也就是它的包絡$C^*$代數，稱為極大$C^*$代數。當$\Gamma$為一個交換羣的時候，代數$C^*_r(\Gamma)$也就是$\Gamma$的Pontrjagyn（龐特里亞金）對偶，（緊）羣$(\hat{\Gamma})$上的連續函數代數。如果更進一步$\Gamma$是有限生成的，那麼$(\hat{\Gamma})$就是一個流形（一個環面）。

如果$\Gamma$是非交換，但同時還保持是有限生成的話，我們可以很自然地把$C^*$代數$C^*_r(\Gamma)$看作一個非交換流形。

---交叉積（crossed product).當羣$\Gamma$通過自同構的方式在代數A上作用時，我們可以通過下面的方法構造一個新的代數：把$\Gamma$的元素$g$在$A$上的作用記為$a\mapsto g.a(a\in A)$，那麼由$A$和$\mathbb\Gamma$按照規則$u_g a=(g.a)u_g$生成的代數就稱為$A$和$\Gamma$的交叉積$A>\!\!\!\lhd\Gamma$.[在國內的一些代數書上這也稱為半直積]我們感興趣的是當$A$是流形$V$上的連續函數代數，而（有限生成）羣$\Gamma$是通過$V$上的微分同胚的方式在$A$上作用的情形。

最簡單的情況就是所謂“非交換環面”，有大量的計算都是以它為對象進行的。[Connes發表的第一篇關於非交換幾何的文章$C^*$-alg\`ebres et g\'eom\'etrie diff\'erentielle. C.R. Acad.sci. Paris S\'er. A-B 290（1980），A599-A604主要處理的就是這個例子，這篇文章在二十年後由他自己翻譯成英文hep-th/0101093]\noindent 我們記$U=\{z\in\mathbb; |z|=1\}$；羣$\Gamma=\mathbb$在$U$上作用是無理旋轉$n.z=e^{2i\pi n\theta} z$，其中$\theta\in \mathbb\backslash\mathbb$.我們記$u=u_1,v:z\mapsto z$,$v\inA=C(U)$.容易看到，交叉積$A>\!\!\!\lhd Z$就是由兩個滿足$vu=e^{2i\pi \theta} uv$的酉算子生成的泛$C^*$代數（universal $C^*$-algebra).\noindent 這個代數被稱為非交換環面的理由是：當$\theta=0$的時候，我們得到一個交換的代數，也就是由兩個交換的酉算子生成的泛$C^*$代數$C^*(\mathbb^2）=C(\hat{\mathbb^2})=C(\mathbb^2）$.交叉積的一個非常重要的變體是下面的---葉狀結構（foliation）的$C^*$代數.這是一個基本的例子，在過去的二十多年裏面一直引導着這一領域的發展.

這裏的對象是由V上一個葉狀結構$F$的葉（leaf）的空間構成的“非交換流形”.如果我們考察一個橫截（開）集M，我們發現，所需要研究的是$M$上在無窮遠點趨於零的連續函數代數$C_0(M)$和一個微分同胚（擬）羣的交叉積.

為了把幾何的工具應用到非交換的框架中去，我們嘗試把流形$V$上的幾何量通過V上的某個函數代數表達出來，而不涉及該代數的交換性.

以黎曼流形上的符號差算子（signature operator）或者Dirac算子作為模型，AlainConnes提出把一個三元組$(H,A,D)$作為研究的出發點，這裏$H$是一個$Hilbert$空間，$A$是$H$上連續[也就是有界]線性算子代數$\mathcal（H)$的一個子代數，而$D$是$H$上的一個自共軛無界算子，我們要求它具有緊的預解式（resolvant).這樣的一個三元組被稱為譜三元組[Connes自己的文章裏面一般把這個寫成$(A,H,D)$,就是從代數$A$出發，考慮它在Hilbert空間$H$上的一個表示].我們要做的事情就是要對我們的這個三元組加上一定的條件使得計算可以進行，而且滿足條件的例子要足夠多.一般來説，在不同的場合所賦的條件是不同的，這也説明了這一理論的豐富多彩.

設$V$是一個緊Riemann流形，我們記V上的連續函數代數為$C(V)$.

設D是一個“好”的一階橢圓微分算子，為明確起見，我們可以取$D$為符號差算子$D=d+d^*$.我們將$D$視作在平方可積的微分形式全體構成的Hilbert空間$H$上的無界自共軛並且具有緊的預解式的算子.我們考慮$C(V)$通過[逐點]乘法在$H$上作用，很容易得到，對於$f\in C(V)$，算子$[D,f]=Df-fD$\noindent 當且僅當$f$是一個Lipschitz函數的時候才是有界的.並且$\| [D,f]\|$等於$f$的Lipschitz常數.事實上，如果$f$是$C^1$的話，那麼$[D,f]$其實就是$df$對應的Clifford乘法算子.

在這裏，我們注意到，上面的數據可以把$V$上的度量（也就是它的Riemann結構）完全確定下來.實際上兩點間的距離可以用$$d(a,b)= \sup \{ |f(a)-f(b)|,f\in C(V); \|[D,f]\|\leq 1 \}$$\noindent 給出.同樣我們也可以很容易地得到$V$上的$C^\infty$結構，因為一個$f\inC(V)$是$C^\infty$的當且僅當它在微分算子$\delta:f\mapsto [|D|,f]$的$C^\infty$定義域中，也就是説，對於任意的$n$，它在$\delta$的$n$次複合$\delta^{\circ n}$中.這裏$|D|$表示$D$的模，也就是滿足$|D|^2=D^* D=D^2$的正算子.實際上，$|D|$是一個具有數值主象徵（scalar principle symbol）的擬微分算子（對於一個餘切向量$\xi$就是乘上$\|\xi\|$的乘法）.$|D|$和一個零階擬微分算子的交換子是一個零階的擬微分算子，因此是有界的.

應當注意到由我們的譜三元組可以得到一個零階擬微分算子的代數！事實上，那些由$C^\infty(V)$的元素和$|D|$做交換子得到的算子都具有數值主象徵（在平坦的情形它們本身就是數值的）.為了得到在[微分]形式叢上作用的零階微分算子，我們只需考慮$H$上的包含$C^\infty(V)$和以及所有交換子$[D,f](f\in C^\infty(V))$，並且對於和$|D|$的交換子作用穩定的最小的子算子代數，記為$\mathcal_0$. 我們也容易找到階為[複數]$m$的擬微分算子：就是那些形為$P(D^2+1)^{m/2}$的算子，其中$P\in \mathcal_0$.

我們要給出一個由譜三元組出發直接可以定義的強大的工具：非交換留數，或者叫Wodzicki留數/擬微分算子P的留數由一個“局部公式”給出：

$$res P=（2\pi)^{-\dim V}\int_V s_P$$

這裏$s_P$是一個由$P$的（全）象徵給出的$V$上的測度：對於$x\in V$,$s_P(x)$是$P$(在$V$的任何一個座標卡里面）的$-\dim(V)$階象徵在$x$點的餘切空間的球面上的平均.這個留數有很多的闡述方式.對於我們來説，最好用的是下面這個：用$Tr$記$H$上跡類算子（trace class operator)理想上的跡.那麼在$\Re(z)$足夠大的時候（比如$\Re(z)> \dim(V)+m$，其中$m=-\Re(-P\text{的階}))$有定義的函數

$$z\mapsto Tr(P(D^2+1）^{-z/2})$$

\noindent 具有一個到$\mathbb$上的僅有單重極點的亞純延拓.這樣$res(P)$就是這個函數在0點的留數.重要的是，Wodzicki留數由我們的譜三元組完全確定，而且這個留數是一個跡： 對於任意兩個擬微分算子，我們有 $res PQ=resQP$.同時，這還是$V$上的擬微分算子代數上唯一的跡.

由Wodzicki留數，我們希望能夠把$V$的基本閉鏈（fundamental cycle），也就是$V$上最高次微分形式的積分，表示出來.我們假設$V$的維數$n$是4的倍數，在這種情況下，微分形式叢是兩個子叢（Hodge *算子的特徵空間）的正交直和$ E_-\oplus E_+$，而符號差算子在這一分解下是奇（impair）的（它把$E_+$映到$E_-$，把$E_-$映到$E_+$).我們用$\varep定義的分次（graduation）算子，其中$\xi_\pm$是$E_\pm$的一個截面.對於$f_0,f_1,\dots,f_n \in C^\infty$，我們有

$$\int_V f_0 df_1 \dots df_n =\pi^n res(\varepsilon f_0 [D,f_1]\dots

[D,f_n](D^2+1）^{-n/2}).$$

\noindent 在這個公式中出現的算子$\varepsilon f_0 [D,f_1]\dots[D,f_n](D^2+1）^{-n/2}$是$-n$階的. 這些算子的Wodzicki留數也可以被看作一個Dixmier跡，這是一個定義在比跡類算子稍大一點的算子理想上的一個正定跡.

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Cogito Ergo Sum.

對於交換情形的討論使我們可以把加在譜三元組上的條件明確下來：

a) $A$中使得$[D,f]$有界的元素$f$構成一個稠密集.因為$D$的預解式是有界的，這就是由Baaj-Julg建立的Kasparov理論的一個無界的版本.我們稱$(H,A,D)$是一個無界Fredholm模.

\noindent 在這樣一個模上可以定義一個解析指標（analytic index），就是一個由$A$的K-理論到$\mathbb$的態射（morphism）.

一個自然的問題就是計算這個同態.

b)$D$的預解式在一個Schatten類$C_p$中，也就是説$(D^2+1）^{-p/2}$是一個跡類算子.

這時候我們稱三元組$(H,A,D)$是$p$-可和（$p-$summable）的，並且定義$(H,A,D)$的維數為$\inf\{p;（D^2+1）^{-1/2}\in C_p\}$.一個要弱得多的條件是對於$s>0,\exp(-s D^2）$是跡類算子.這個時候我們稱$(H,A,D)$是$\theta$-可和的.

\noindent 對於這兩種情況，我們都可以寫出一個指標公式（index formula): 我們可以利用算子的跡寫出代數$\{a\in A; [D,a]\text{有界}\}$上的一個循環上鍊（cyclic cocycle），它將起到Atiyah-Singer公式中指標類的作用.

c）我們可以加更多的限制，比如可以假設：

--$(H,A,D)$是$p$-可和的；

--$A$中所有對於導子$\delta: f\mapsto [|D|,f]$光滑$(C^\infty)$的元素構成一個稠密子代數$\mathcal$；

--對於$\mathcal(H)$中包含$\mathcal$以及所有交換子$[D,f](f\in\mathcal)$，並且對於$\delta$作用穩定的最小的子代數里的元素$P$,對$\Re(z)$足夠大的時候定義的函數$z\mapsto Tr(P(D^2+1）^{-z/2})$在整個複平面$\mathbb$上有一個只有單重極點的亞純延拓.

\noindent 在這種情形下，我們可以用形如$z\mapsto Tr(P(D^2+1）^{-z/2})$的函數的亞純延拓的留數把指標公式寫出來；而既然這個公式是完全用留數寫出來的，因此它就具有某種“剛性”：如果我們在$D$上加上一個有限秩算子的擾動，公式不變.對於流形上一個（擬）微分算子$D$的情形，這個公式只和$D$的全象徵有關，我們稱這個公式是局部的.

d）在有些時候，我們可以把“算子$D$是一個一階微分”這一事實表達出來.為此我們説$[D,f]$是局部的.在“交換”幾何的情形下，這種局部性表現為$[D,f]$和函數對應的乘法算子是可交換的；但是很顯然的這個定義在非交換的框架下不好使：代數$\mathcal$的元素本身必須是局部的.受到Tomita理論的啓發，Connes給出了一個局部性的非交換表述：我們設有一個共軛線性算子$J:H\rightarrow H$滿足$J^2=\pm id$並且 $J\mathcalJ^$和$\mathcal$可交換.我們説$T\in\mathcal(H)$是局部的，如果$T$和$J\mathcalJ^$可交換.在$H$是流形$V$上的纖維叢$S$的$L^2$截面空間的交換情形下，$J$就是$S$的一個實結構，而$J\mathcalJ^=\mathcal$.

\heiti{最後我們來討論三個非交換的例子}\songti

⒈有限生成的離散羣$\Gamma$

我們取$H=\ell^2(\Gamma),A=C^*_r(\Gamma)$在上面通過平移（translation）作用；算子$|D|$就是算子$\xi\mapsto \ell \xi$,其中$\ell: \Gamma\rightarrow \mathbb_+$是一個長度函數，也就是説它滿足$\ell(gh)\leq \ell(g)+\ell(h)$.注意到 $u_g^ |D| u_g- |D|$是一個連續的乘法算子，它的模為$\ell(g)$，所以$[|D|,u_g]=u_g(u_g^|D| u_g- |D|)$\noindent 也是連續的.與此同時，可以證明$(H,A,|D|)$是p-可和的當且僅當羣$\Gamma$（對於長度$\ell$而言）是多項式增長的，因此是幾乎冪零的[這是Gromov-Milnor定理，幾乎冪零即指有一個有限指數的冪零子羣].

在另一方面，當$\ell$是詞的長度的時候，這個模總是$\theta$-可和的.

\noindent 我們只構造了$D$的模$|D|$.它給出了關於度量的信息，但是我們還需要$D$的相位（phase）的信息（這是用來決定指標的）.

在有些情況下，這是可以給出的.比如當羣$\Gamma$在一棵樹（tree），或者一個Bruhat-Tits廈（building）上作用的時候，我們就可以構造出相應的對象.

⒉葉狀結構的橫截符號差算子

這是Connes與Moscovici合作在一系列文章中處理的對象.我們考慮一個相對簡單的情形：

在一個$C^\infty$的$n$維流形$M$上

有一個可數的微分同胚羣$\Gamma$.如果我們要在這個框架下構造符號差算子，那麼所遇到的第一個問題就是，一般説來，$M$上不存在一個關於$\Gamma$不變的度量，所以我們無法構造一個主象徵關於$\Gamma$不變的橢圓微分算子.為此，Connes和Moscovici考察$M$上所有度量構成的空間，也就是餘切叢上所有標架的集合模掉$O(n)$的作用得到的商.然後我們構造一個對於$M$上所有微分同胚“幾乎不變”的超橢圓（hypoelliptic）擬微分算子$D$.

\noindent 這個算子由公式$D|D|=Q$所刻劃，其中$Q=d^*_V d_V-d_V d^*_V + d_t+d^*_t$.這裏$d_V$是一個“縱向（vertical）”（也就是沿着纖維化$P\rightarrow M$的纖維方向）的求導算子，而$d_t$是相對於這個纖維化的一個“橫截”求導算子.

\noindent 我們可以證明這樣得到的三元組$(H,A,D)$滿足上面c）中所列的所有條件.因此我們就能夠得到一個局部指標公式.

為了方便這個上閉鏈的計算，Connes和Moscovici引進了一個非交換也非上交換的Hopf代數$\mathcal_n$，它的元素是$\mathbb^n$上的“橫截向量場”（transversal vector fileds），在這裏起“量子對稱羣”（quantumsymmetry group）的作用.

注意類似的Hopf代數也被Connes和Kreimer用在組織重正化理論中的計算上.

⒊非交換環面

在這個情況下，所有的計算都是明瞭的：我們要用的Hilbert空間是$H=\ell^2(\mathbb^2）\oplus\ell^2（\mathbb^2）$.

由滿足交換關係$vu=e^{2i\pi n\theta} uv$的酉算子$u,v$生成的代數$A$在每一個部分$\ell^2(\mathbb^2）$依同樣的公式

$$u(E_{n,m})=E_{n+1,m}\;\;\; v(E_{n,m})=e^{2i\pi n\theta} E_{n,m+1}$$

\noindent 作用，這裏$(E_{n,m})_{n,m\in\mathbb}$是$\ell^2(\mathbb^2）$的標準Hilbert基.算子$D$取為

D=\Bigl{(} \begin

0 & \partial^*\\

\partial & 0

\end\Bigr{)}

\noindent 這裏$\partial$是由$\partial(E_{n,m})=(n+im)E_{n,m}$定義的算子.

\noindent 與此同時我們也有共軛線性算子$J$，在每個部分$\ell^2(\mathbb^2）$依公式$J E_{n,m}=e^{2nmi\pi\theta}$作用.

這樣算子$D$就按照上面d）的描述成為一個微分.

\noindent 這個例子給出了一些非常漂亮的計算，並且一直作為檢驗這一理論的大量工具的試驗場.其中有一些被證實是非常精細的，樣一個結果：如果$\theta$是超越數的話，那麼非交換環面上的有限射影模的Yang-Mills作用量的臨界值（critical value）和模的維數$d$的形如$\sum m_k(q_k\thetq-p_k)=d,m_k,p_k,q_k\in\mathbb,m_k>0,p_k\theta-q_k>0$的分拆一一對應].

大量的自然的例子已經，或者正在被研究着.毫無疑問，我們僅僅處在這一理論發展的初始階段……