雷諾應力

流體作湍流運動時所產生的應力，除了粘性應力外尚有附加的應力，包括法向附加應力和切向附加應力，這些附加的應力都是湍流所特有的，是由於流體質點的脈動產生的 , 稱為雷諾應力。雷諾應力包括湍流正應力和湍流切應力。 ^[2] 

對於不可壓縮粘性流動，在不考慮質量力的情況下， N-S 方程具有下列形式：

式（1）

著名的不可壓縮流體作湍流運動時的時均運動方程，即雷諾方程：

式（2）

將時均運動方程和 N-S 方程相比可以看出，湍流中的應力，除了由於粘性所產生的應力外，還有由於湍流脈動運動所形成的附加應力，這些附加應力稱為雷諾應力。雷諾方程與 N-S 方程在形式上是相同的，只不過在粘性應力項中多出了附加的湍流應力項。

將雷諾方程與粘性流體應力形式的動量方程進行比較，由式（2）可以看出，在湍流的時均運動中，除了原有的粘性應力分量外，還多出了由脈動速度乘積的時均值

等構成的附加項，這些附加項構成了一個對稱的二階張量，即

式（3）

式（3）中的各項構成了所謂的雷諾應力。

在穩定湍流中繞某點 M 處取一微元六面體 ，考察過點 M 取與 x 軸垂直的某微元面，其面積為

。在單位時間內通過單位面積的動量為

，其時均值為

（4）

式（4）左端是單位時間內通過垂直於 x 軸的單位面積所傳遞的真實動量的平均值，右端第一項是同一時間內通過同一面積所傳遞的按時均速度計算的動量，第二項是由於 x 方向上速度脈動所傳遞的動量。根據動量定理，通過

面有動量傳遞，那麼在

面上就有力的作用。

式（4） 中各項都具有力的因次，從而證明了在湍流情況下，沿 x 方向的時均真實應力，應等於時均運動情況下 x 方向上的應力加上由於湍流中的 x 方向脈動引起的附加應力。對

面來説，附加應力①與它垂直，所以是法嚮應力，因此稱之為附加湍流正應力。

①

由於在點 M 處沿 y 方向上有脈動速度

，則在單位時間內通過微元面

（垂直於 y 軸）上的單位面積流入的質量為

如圖 1 所示 ，這部分流體本身具有 x 方向的速度 ②，因而隨之傳遞的 x 方向上的動量為

，其時均值為

②

根據時均運算關係式，③，所以

（5）

③

一個單位長度的流體微團因 y 方向的速度脈動

，而在單位時間內通過單位面積上增加的 x 方向上的動量的時均值，即

（6）

式（5）表明，在單位時間內通過垂直於 y 方向的

面的單位面積所傳遞出去的 x 方向動量為 ④，因而該單位面積就受到一個沿 x 方向的大小為④的作用力。式（6）説明了這個力的變化量。可以理解為：當流體質點由時均速度較高的流體層向時均速度較低的流體層脈動時由於脈動引起的動量傳遞，使低速層被加速。反過來，如果脈動由低速層向高速層發生，高速層被減速，因此這兩層流體在 x 方向上各受到切應力的作用。④是湍流中流體微團的脈動造成的，稱為湍流切應力，記作

。

④

湍流正應力和湍流切應力統稱為雷諾應力。 ^[3] 

雷諾應力模型在三維湍流流場計算中有着重要作用，可以有效的計算各向異性的湍流流場。 ^[4]  在各種工程實踐中有着重要應用。