雞爪定理

1.證明：由內心和旁心的定義可知∠IBC=∠ABC/2，∠JBC=(180°-∠ABC)/2

∴∠IBC+∠JBC=∠ABC/2+90°-∠ABC/2=90°=∠IBJ

同理，∠ICJ=90°

∵∠IBJ+∠ICJ=180°

∴IBJC四點共圓，且IJ為圓的直徑

∵AK平分∠BAC

∴KB=KC（相等的圓周角所對的弦相等）

又∵∠IBK=∠IBC+∠KBC=∠ABC/2+∠KAC=∠ABI+∠BAK=∠KIB

∴KB=KI

∵IBJC四點共圓 且 KB=KI=KC

∴點K是四邊形IBJC的外接圓的圓心（只有圓心滿足與圓周上超過三個及以上的點的距離相等）

∴KB=KI=KJ=KC

2.證明：∵E為內心，∴BE平分∠ABC，∴∠2=0.5∠ABC，

∵F為旁心，∴BF平分∠MBC，∴∠CBF=0.5∠MBC

∴∠1+∠CBF=0.5（∠ABC+∠MBC）=0.5×180°=90°，

∴∠EBF=90°，同理：∠ECF=90°，

∴∠EBF+∠ECF=180°， E、B、F、C四點共圓。

∵AD平分∠BAC，且B，D，C三點在△ABC外接圓上，∴DB=DC。①

∵∠6=∠1+∠3，∵∠3=∠4=∠5，∴∠6=∠1+∠5，∵∠1=∠2

∴∠6=∠2+∠5，∴DE=DB。比較①得：DB=DC=DE；

∵E、B、F、C四點共圓，∴D為E、B、F、C四點外接圓的圓心，

∴DB=DC=DE=DF，定理得證。

3.證明：考慮△BDC，∵AD平分∠BAC

∴∠DBC=∠DAC=∠DAB=∠DCB

∴BD=DC

考慮△FDB，又∵BF平分∠MBC

∴∠BFD=∠MBF-∠BAF=∠FBC-∠DBC=∠FBD

∴BD=DF

考慮△FDC，又∵CF平分∠NCB

∴∠CFD=∠NCF-∠CAF=∠BCF-∠BCD=∠DCF

∴BD=DC

考慮△BDE，∠DBE=∠DBC+∠EBC∠DEB=∠BAD+∠EBA

∵BE平分∠ABC

∴∠CBE=∠ABE

∴BD=BE

綜上，DB=DE=DC=DF

設△ABC中∠BAC的平分線交△ABC的外接圓於K。在AK及延長線上截取KI=KB=KJ，其中I在△ABC的內部，J在△ABC的外部。則點I是△ABC的內心，點J是△ABC的旁心。

（利用同一法可輕鬆證明該定理的逆定理。）

證明：取△ABC的內心I'和旁心J‘，根據定理有KB=KC=KI'=KJ'

又∵KB=KI=KJ

∴I和I'重合，J和J’重合

即I和J分別是內心和旁心