陀螺進動

如圖1所示，設一陀螺以角速度ω繞其對稱軸(自旋軸)S高速旋轉，其轉動慣量為I，角動量為 L 。試驗發現，陀螺在繞對稱軸旋轉的同時，其對稱軸還以一定的角速度繞過支點O的鉛直軸(z軸)旋轉，這樣的運動稱為進動，這種現象稱為迴轉效應。 ^[1] 

設t時刻陀螺對稱軸與z軸的夾角為 θ （圖1），角動量在 z 軸上的投影為Lcosθ；t+dt時刻，由於重力矩M的作用，陀螺將會下傾，使s軸與z軸的夾角變為θ+dθ，角動量在z軸的投影變為Lcos(θ+dθ)，則角動量在z軸方向上的增量為：

但是，M在z軸方向上無分量，因此，陀螺的角動量在Z軸方向必守恆，這意味着，陀螺必定會獲得一個沿z軸正方向的角動量

，使得陀螺的對稱軸反時針方向沿z軸轉動，產生進動。 ^[1] 

由於高速旋轉陀螺的自旋角速度 ω 之值遠大於其進動角速度，因此，陀螺的總角動量與自旋角動量近似相等，因而均可用 L 來表示。如圖2所示，當陀螺的自旋軸轉過微小角度

時，陀螺角動量的增量大小（假定θ不變）

，注意到角動量定理的微分形式

，則可得到陀螺對稱（自旋）軸繞 z 軸轉動的角速度，即陀螺進動的角速度

，該式説明，陀螺的進動角速度

與外力矩 M 成正比，與陀螺的自旋角動量 L 和其與 z 軸夾角θ 正弦 sinθ 的乘積成反比。 ^[1] 

直升機旋轉的主旋翼像一個陀螺，因此它具有陀螺作用固有的特性，其中之一就是進動。陀螺進動是力作用在旋轉物體上的合成作用或偏轉，這個作用發生在距力的作用點順旋轉方向轉過約90°方向上。

我們可以通過觀察兩片槳葉的旋翼系統，瞭解陀螺進動對槳尖軌跡的影響。

圖3：直升機的陀螺進動效應(2張)

如圖3所示，移動駕駛杆，增加一片槳葉的迎角，使作用在旋轉面相應點上的升力增加。移動駕駛杆同時以相同量減小了另一片槳葉的迎角，使作用在旋轉面相應點上的升力減小。迎角增加的槳葉具有向上揮舞的趨勢，迎角減小的槳葉具有向下揮舞的趨勢。因為旋翼槳盤的運動像一個陀螺，槳葉在旋轉面內受到擾動後約90°處達到最大偏轉。

圖3中，後行槳葉迎角增加，前行槳葉迎角減小，導致槳尖軌跡面向前傾斜。逆時針方向旋轉的主旋翼，當槳葉通過左側90°位置時，迎角增加最多；當槳葉通過右側90°位置時，迎角減小最多。最大偏轉出現在轉過90°的位置上，向上最大偏轉出現在後部，向下最大偏轉出現在前部，此時槳尖軌跡面向前傾。最大偏轉發生在90°之後，即槳葉分別到達最後和最前時。 ^[2]