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阿達馬不等式
鎖定
阿達馬不等式(Hadamard inequality)是一種特殊不等式,指矩陣的子行列式所滿足的一個不等式。設V是n維歐氏空間,V中向量α1,α2,…,αs的格拉姆矩陣A的行列式的平方小於等於諸向量αi的內積的乘積,由此可導出阿達馬不等式
[1]
。
- 中文名
- 阿達馬不等式
- 外文名
- Hadamard inequality
- 所屬學科
- 數學
- 所屬問題
- 高等代數(矩陣)
- 簡 介
- 矩陣的子行列式滿足的不等式
阿達馬不等式基本介紹
對歐氏空間中任意s個向量
,必有
之所以稱(1)式為廣義阿達馬不等式,是因為n階實方陣A=
的n個列可以看作帶有內積
的實數域R上的
n維列向量R(n)(即歐氏空間R(n))中的n個列向量,而
,故得
不等式(2)有以下幾何意義:
阿達馬不等式相關介紹
設
是歐氏空間V中任意s個向量,下述s階陣
格蘭姆矩陣是個有廣泛應用的矩陣,它有如下的基本結論:
定理1 歐氏空間V中向量
的格蘭姆矩陣
必是半正定陣,而
是正定陣的充要條件是
線性無關。
證明 當
線性無關時,作線性包L(
),則它對V的內積來説仍是一個歐氏空間,而
是L(
)的基,故
是度量矩陣,因而
是正定陣。故
>0。
當
線性相關,例如
是
的線性組合:
,將
的第s列減去第1列的k1倍、第2列的k2倍、…,第s-1列的ks-1倍,並應用內積的線性性質可得
(因
;i=1,2,…,s)。
根據上述兩點,對任意s個向量
,恆有:
≥0。但因
的任何k階主子陣顯然也是格蘭姆矩陣,故它的行列式不小於零,所以
是半正定陣。再由上述兩點知,
是正定陣的充要條件是,
線性無關。
由定理1的證明過程,可得推論1及廣義阿達馬不等式。
推論1 歐氏空間V的任意s個向量
的格蘭姆行列式
≥0,而等號成立的充要條件是,
線性相關。