阿基米德方法

1906年，哥本哈根大學古典哲學教授J．L．海伯格(Heiberg，1854—1928)在土耳其君士坦丁堡(現稱伊斯坦布爾)仔細觀看一部擦去舊字寫上新字的羊皮紙書①，舊的字跡幸好沒有擦乾淨可以判定是10世紀時寫上去的．擦掉之後，大約在13世紀時寫上一大堆東正教的祈禱文和禮拜儀式，作為中世紀的宗教文獻保存了下來．舊的字跡隱約可辨，海伯格驚喜地發現這是阿基米德的著作，因為在別處見過．於是用攝影等技術使舊字跡重現，1908年再一次去進行工作，經過不懈的努力，終於使 185頁的文字(除少數完全看不清者外)重見天日．其中包活《論球與圓柱》及《圓的度量》、《平面圖形的平衡或其重心》的一部分．還有《論浮體》的相當一部分，過去一直認為希臘文本已失傳，只有莫貝克(William of Moerbeke，約1230—1286)的拉丁文譯本存下來，現在居然得到希臘文原本，雖然也還不是全部．更令人興奮的是有一封阿基米德寫給埃拉託塞尼(Eratosthenes)的信，還是初次看到．這是本世紀數學史料的重大發現．

這封信主要講如何根據力學原理去發現解決問題的方法。這封信裏，阿基米德把一塊麪積或體積看成是有重量的東西，分成許多非常小的長條或薄片，然後用已知面積或體積去平衡這些“元素”，找到了重心和支點，所求的面積或體積就可以用槓桿定律計算出來。他把這種方法看作是嚴格證明前的一種試探性工作,得到結果以後,還要用歸謬法去證明它。

這封信後來刊行於世，就是《阿基米德方法》。

阿基米德(2張)

《方法》包括15個命題．一開頭是寫給埃拉託塞尼的信用來説明本篇的主要內容，相當於序言．下面，以命題1為例，闡明阿基米德的思想方法．為了便於瞭解，暫用現代的術語和符號來推導．

設D是拋物線弧ABC的弦AC的中點，過D作直線平行於拋物線的軸OY，交拋物線於B．證明:拋物弓形ABCD的面積等於△ABC面積的 4/3.

當時已經知道過B的切線平行於AC，即B是弓形的頂點(在ABC弧上與AC距離最遠的點)．命題結論的另一種説法是：

拋物弓形的面積，是等底等高的三角形的4/3．

用解析幾何來分析，設拋物線方程是：y=ax^2 (1)

A，C的橫座標分別是x1，x2，

則AC的方程是：y=ax1x+ax2x-ax1·x2(2)

過C點的切線CF的方程是：y=2ax2x-ax2^2 (3)

延長DB交CF於E，不難證明，B是ED的中點．事實上，將D，B，E的橫座標 (x1+x2)/2 分別代入(2)、(1)、(3)式，可得三者的縱座標，依次是：yD=a(x1^2+x2^2)/2，yB=a[(x1+x2)/2]^2，yE=ax1·x2

由此知B是D、E中點．

作AF//OY，交CF於F．延長CB交AF於K，則K是FA的中點．再取KH=KC，過AC上任意點M作MQ//OY，交CK於P，交CF於Q，交拋物線於N．將M的橫座標x0分別代入(2)、(1)、(3)，得M，N，Q的縱座標：

yM=ax1·x0+ax2·x0-ax1·x2

yN=ax0^2

yQ=2ax2·x0-ax2^2

於是有：

上面推出的幾個性質，有的前人已證明，有的阿基米德在別處已證明，在這裏是作為已知條件來使用的．例如：1.過D且平行於軸的直線必過弓形的頂點B，且B是ED中點，在歐幾里得以及阿里斯泰奧斯(Aristaeus，約公元前340年)的圓錐曲線論中已證明，在阿基米德的《拋物線圖形求積法》命題 1，2中也討論過；2.MQ∶MN=AC∶AM是同一篇論文的命題5．

下面才是阿基米德巧妙的根據力學原理去探索真理的方法：

假想各線段都是有重量的，而且重量和長度成正比．又HP是一根以K為支點的槓桿．因為MQ∶MN=HK∶KP，如果將MN放在H點，就可以和位於槓桿另一端的MQ平衡，P是MQ的重心．這關係對於任意的M都成立．弓形可以看作由許多這樣的MN線段所組成，而△AFC由許多的MQ線段所組成．如果將所有的MN(也就是整個弓形)都放在H上(以H為重心)，就可以和△AFC平衡．弓形的重量可以看作完全集中在H點，而△AFC的重量也可以看作集中在它的重心上，這重心位於中線KC上，與K的距離是KC(=KH)的1/3，故弓形重量(即面積)是△AFC重量(即面積)的1/3．又△AFC=4△ABC，故知弓形ABCD的面積是△ABC的4/3．

《方法》的中心思想，是要計算一個未知量(圖形的面積、體積等)，先將它分成許許多多的微小量(如將面分成線段，將體積分成薄片等)，再用另一組微小量來和它比較．通常是建立一個槓桿，找一個合適的支點，使前後兩組微小量取得平衡．再將後一組微小量集合起來，它的總體應該是較易計算的．於是通過比較，即可求出未知量來．這實質上就是積分法的基本思想．阿基米德的睿智，業已伸展到17世紀中葉的無窮小分析領域裏去了！因此，稱他為近代積分學的先驅，毫不為過．當然，和積分法還有相當大的差距．表現在：1.沒有説明微小量(或元素)是有限的還是無窮多，這在古希臘時代是不可能解決的問題；2.沒有極限的思想，現代的積分，是一個極限值而不是一個簡單的和；3.就事論事，沒有形成抽象的概念及一般的法則．

阿基米德運用這種富有啓發性的方法，獲得大量的輝煌成果，為後人開闢了一個廣闊的領域．本篇後面的命題都是用類似的方法取得的．比較著名的的命題有：

命題2．球體積是以此球的大圓為底、以球的半徑為高的錐體體積的4倍．

命題34及其推論．以球的大圓為底、球的直徑為高的圓柱的體積是球體積的3/2倍．（也就是刻在阿基米德墓碑上的那個）

此外還有旋轉橢圓體體積，旋轉拋物線體體積及重心，半球的重心，以及相當複雜的圓錐體與球的交截體(兩種立體相交的公共部分)等問題．在今天，只有用積分法才能解決，而阿基米德獨闢蹊徑，創立新法，取得正確的結果，使後人驚歎不已．