-
門限迴歸模型
鎖定
- 中文名
- 門限迴歸模型
- 外文名
- Threshold Regressive Model
- 所屬學科
- 數學（統計學）
- 簡 稱
- TR模型或TRM
- 提出者
- 湯家豪
目錄
門限迴歸模型門限迴歸模型的基本思想
預報對象y與預報因子集
之間的一般門限迴歸模型形式為:
門限迴歸模型的基本思想是通過門限變量的控制作用，當給出預報因子資料後，首先根據門限變量的門限闕值的判別控制作用，以決定不同情況下使用不同的預報方程，從而試圖解釋各種類似於跳躍和突變的現象。其實質上是把預報問題按狀態空間的取值進行分類，用分段的線性迴歸模式來描述總體非線性預報問題。在直觀上此法可類比於用拆線分段逼近曲線，由於應用了分段線性化的思想，因此可以充分利用線性模式的處理手段
[2]
。
門限迴歸模型門限迴歸模型的建模方法
如果我們已知門限變量
和門限閾值
，則根據門限變量值是否高於門限閾值來把樣本資料分為K段，分別對每一段樣本用線性逐步迴歸來建模即可。在作預報時，根據門限變量實時資料，首先判斷其屬於哪一段，然後再用該段迴歸模式代入預報因子實時資料即可作出預報。這些都是讀者熟知的常規線性統計預報計算分析方法了。由此可見，對門限迴歸建模的關鍵是確定門限變量和門限閾值，這就是要重點討論的問題
[2]
。
根據門限迴歸模型的思路，當門限變量值高於或低於門閾值時，將有顯著不同的預報關係。因而建模的步驟為：先找出門限變量和門限閾值，然後按此對樣本分組，分段建立線性模式。門限變量的確定有兩種情況，一種是基於對預報問題的物理分析，因果關係推斷，指定某個變量為門限變量，另一種情況是當對預報問題的物理原因不清、完全依靠統計方法時，可採下面的方法
[2]
。
我們先考慮只有一個門限閾值，即分為兩段迴歸時的方法，然後再把它推廣到一般。設有預報對象y和m個預報因子
，取n個樣本。從x中任取一個因子
，找出
樣本中的最大值和最小值，求得
的變化區間，在該區間內任給一個門限值記為
，對每個樣本
，把
時所有的x和y樣本分作一組子樣本，
時所有的x和y樣本分作另一組子樣本，然後對這兩組樣本分別建
立迴歸方程， 於是就建立了一個門限迴歸模型。窮盡所有可能的因子， 即取：
，對
窮盡所有可能的分段，即對
門閾值，在
內，取盡所有可能的值，於是就可建立所有可能的門限迴歸模型，從中挑出效果最好的那一個，就是最優門限迴歸模型
[2]
。
以上討論的門限迴歸建模方法，在變量數和樣本數很少時，是易於實現的。但當變量數和樣本數較大時，其計算量就是一般微機難以完成的了。如果計算條件能充分滿足，顯然這種窮盡所有可能搜索的計算方案是可以建立最佳廣]限迴歸模型的。但在計算條件不能充分滿足的情況下，如何設計一些計算方案，在基於一定假設條件下，找到一個相對較好的門限迴歸模型，就是一個需要認真討論的問題了。下面提供三種假設條件下的建模方案，供讀者在實際工作中參考選用。
1.假設條件:門限變量和門限閾值是造成預報對象顯著差異的主要因子。此時要找到這樣的門限變量和門限閾值，當把預報對象分成兩組時，兩組預報對象間有最顯著的差異，由此建立的門限迴歸模型，當預報關係發生改變時，預報對象有顯著差異。此種情況下的計算方法為:
設有y和
，取n個樣本，從x中任取一個因子
，把它的樣本與y的樣本列為下表:
上表中凡滿足
(j= 1,2...n)的那些預報對象樣本挑出來，組成一組子樣本，記為
，其餘作為另一組子樣本， 記為
。用方差分析方法，求得
和
這兩組子樣本的差異顯著性檢驗值，記為
，然後運用一維搜索來不斷調整門限初值，記為
。按此法可不斷對y重新分組計算兩組樣本的差異顯著性檢驗值，記為
，於是問題歸結為:對門限值
尋優，使
達到最大，從而求得以
作為門限變量時的最大顯著性指標，記為
相應的門限閾值記為
。
對
至
每個因子都如此分析，於是求得每個因子的
和
，i=1,2,...,m，把它們排列如下：
對門限變量及門限閾值的求法，不限於這裏介紹的方差分析方法，還可運用其他方法，如最優分割法等。
找出門限變量xj和門限閾值
後，下一步就是把預報對象和預報因子樣本資料
按門限因子和門限閾值把滿足
(k = 1,2..,n)的那些預報對象和預報因子樣本挑出來，組成一組子樣本， 其餘作為另一組子樣本， 然後分別對這兩組子樣本作線性逐步迴歸，求得二段門限迴歸模式為:(式中，未入選因子的係數
)
這一建模方法不難推廣到分為L段的多元門限歸模型，現把建模方法簡述如下:
(1)對因子
，找出最大值和最小值，在其變化區間內取L個分點，把y劃分為L組，記為
。運用方差分析方法，求得這L組的差異顯著性檢驗值，記為
。
(2)對
區間中的L個分點，運用非線性參數尋優法，求得L個門限閾值， 記為
使F達到最大。
(3)對
至
每一個因子重複(1)~(2)步，求得
，從中找出最大值，記為
，其所對應的因子
即為門限變量，
即為門限閾值。
2.假設條件：當預報關係發生改變時，門限變量值間有最顯著的差異。在此種情況下要找到這樣的門限變量和門限閾值， 使高於門限閥值和低於門限閾值的門限變量樣本值間有顯著差異，由此建立的門限迴歸模型具有當預報關係發生改變時，門限變量值有顯著差異的特性。
此時具體計算方法為:從X中任取一個因子
，給定一個門限初值
，把
的樣本值
(k = 1,...,n)中大於
的那些樣本分為一組，其餘的作為另一組，求得兩組數據的方差分析F值，記為
然後應用一維搜索來不斷調整門限初值，記為
。
以此不斷重新分組計算兩組樣本的差異顯著性檢驗值記為
，對門限值
尋優，使
達到最大，從而求得以
作為門限變量時的最大顯著性指標，記為
，相應的門限閾值記為
。以下各步驟同第-種假設條件下的計算方法，這裏從略。
3.假設條件：當預報問題為時間序列問題時，即樣本為時間序列樣本組成。此時假設預報對象時間序列由不同週期預報關係疊加組成。於是可把預報對象時間序列樣本進行週期分解。方法如下:
對Y的n年樣本， 設週期為K，於是可排列成K年週期如下：
把每一列作為一組子樣本，共有K組子樣本。對每-組子樣本的均值和方差與其他組進行比較，若存在顯著性差異，即可認為該組變量所對應的年份是由不同週期預報關係造成的，因而可把該組因變量所對應的樣本挑出來單獨建立一個迴歸方程。其他樣本建立另一個迴歸方程。在實際應用中，可對不同K值進行試驗，以確定顯著性最高的K年週期。
如果預報模型的突變受多個門限變量的控制，則稱為多重門限迴歸，下面是兩個門限變量， 每個門限變量一個閾值的形式：
