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重對數律

在概率論中，重對數律(LIL)用來描述一個隨機遊走的振幅。其最早為Aleksandr Y. Khinchin在1924年所敍述；^[1] 之後Andrey N. Kolmogorov在1929年給出了另一個敍述。由於定理中出現了二重對數，故名。^[2]

重對數律內容

令

是一列獨立同分布的隨機變量，其期望為0，方差為1；且記

，那麼：

其中“log”是自然對數，“lim sup”是上極限，“a.s.”是“幾乎必然”。

重對數律在大數定律與中心極限定理之間運行。大數定律有兩種描述 - 弱者和強者，它們都聲明，以n^-1為標準的總和S_n收斂到零，幾乎可以肯定地：

另一方面，中心極限定理表示以因子n-½縮放的總和Sn在分佈中收斂到標準正態分佈。通過Kolmogorov的零一定律，對於任何固定的M，事件

發生是0或1，然後

因此：

一個相同的論證顯示

這意味着這些數量幾乎無法收斂。事實上，他們甚至不能從平等的角度收斂

和隨機變量

是獨立的，並且兩者收斂於分佈

。

重對數律提供了兩種限制縮放因子：

因此，儘管數量

小於概率接近一個的任何預定義的ε> 0，但是該數量將會無限次地從該間隔中退出，實際上將會幾乎肯定地訪問區間（-√2，√2）任何一點的社區。

獨立和相同分佈（i.i.d.）隨機變量之和的平均和有界增量的迭代對數（LIL）的定律可以追溯到20世紀20年代的Khinchin和Kolmogorov。

從那時起，對於各種依賴結構和隨機過程，LIL已經有大量的工作。以下是一些顯着發展的小樣本。

哈特曼 - 温特納（Hartman-Wintner，1940）將LIL推廣到具有零均值和有限方差的增量的隨機遊走。

Strassen（1964）從不變性原理的角度研究了LIL。

Stout（1970）將LIL推廣到固定的遍歷mart。

de Acosta（1983）給出了Hartman-Wintner版本的LIL的簡單證明。

維特曼（Wittmann，1985）將哈特曼 - 温特納版本的LIL概括為滿足更温和條件的隨機遊走。

Vovk（1987）導出了一個LIL的版本，對於單個混沌序列（Kolmogorov隨機序列）有效。這是值得注意的，因為它在經典概率論之外。

王永貴已經表明，重對數律也適用於多項式時間偽隨機序列，此外^[3] 用於偽隨機生成的基於Java的軟件測試工具統計測試技術可用於測試隨機發生器是否輸出滿足LIL的序列。

參考資料

1. A. Khinchine. "Über einen Satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung", Fundamenta Mathematica, 6:9-20, 1924. (The author's name is shown here in an alternate transliteration.)
2. A. Kolmogoroff. "Über das Gesetz des iterierten Logarithmus". Mathematische Annalen, 101:126-135, 1929.
3. Y.Wang: Randomness and Complexity. PhD Thesis, 1996.

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