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重複排列
鎖定
重複排列是排列的一種。從n個不同的元素中,每次取出m個元素,但同一元素可以重複取出,排成一列,稱為一個可重複排列。在作一個可重複排列時,如果元素a被取上幾次,排列中它就出現幾次,但同一元素的位置交換不能認為是不同排列。兩個可重複排列相同當且僅當所取的元素相同,並且同一元素取的次數相同,在排列中佔的位置也相同。從n個元素中可重複地選取m個元素的可重複排列個數稱為可重複排列種數。
[1]
- 中文名
- 重複排列
- 外文名
- permutation with repetition
- 所屬學科
- 數學
- 屬 性
- 排列的一種
- 定 義
- 從n個不同的元素中每次取出 r 個元素,並且允許元素重複出現的排列
重複排列定義
可以通過例題理解重複排列。
例1 由1,2,3,4,5,6,7,8,9可以組成多少個五位數?
解: 第一位(萬位)可以是1,2,3,4,5,6,7,8,9中的任何一個,因而有9種確定第一位的方式;
由於題目中沒有限制數字不重複,即允許數字重複,因而第二位(千位),第三位(百位),第四位(十位)和第五位(個位)都各有9種確定的方式;
因此可以組成9×9×9×9×9=95(個)五位數。
例2 有10個燈泡並聯在一起,排成一排,由燈泡“亮”與“不亮”可以組成多少個不同的信號?
解: 每個燈泡都有“亮”與“不亮”兩種信號,因此有
我們分析一下這兩個例題:
像12 234,23 335就是例1中的兩個不同的排列,其中2和3重複出現在排列中,在例2中,如果設1為燈泡“亮”,0為燈泡“不亮”,這樣1000100011就是例2中的一個排列,其中0和1都重複出現在排列中。
重複排列重複排列規律
關於重複排列的計數方法有下面的規律。
重複排列定理1
設有n個不同的元素,從這n個不同的元素中每次取出 r 個元素的重複排列的個數為
證明: 設取出的 r 個元素排在 r 個位置上。
第一個位置上可以取n個不同的元素中的任何一個,所以有n種不同的取法;
由於元素允許重複,所以第二個位置也有n種不同的取法;
同樣,每個位置上的元素都有n種不同的取法。
所以,從這n個不同的元素中每次取出 r 個元素的重複排列的個數為
這裏需要指出的是 n 和 r 只要都是正整數就可以,r 不受 n 的約束,即 r 可以小於n,也可以大於n,也可以等於n。
重複排列例題解析
例3 從1到100 000的所有正整數中,至少有一位包含1的正整數有多少個?
解: 從1到100 000的所有正整數共有105個,在這些數中,不包含1的正整數,相當於從0,2,3,4,5,6,7,8,9取出5個的重複排列,有
但是,其中有一個數00 000不是正整數。
從1到100 000的所有正整數中,至少有一位包含1的正整數,應該從1到100 000的所有正整數中減去不包含1的正整數,由於其中也減去了00 000,故多減去一個,於是,從1到100 000的所有正整數中,至少有一位包含1的正整數有
105-(95-1)=105-95+1=40 952(個).
例4 有7封信,隨意投人3個信箱,有多少種投法?