里斯-菲舍爾定理

里斯-菲舍爾定理是貝塞爾不等式的逆命題。

設

是希爾伯特空間H中的規範正交系，F張成的閉子空間為E；又設

是一族數，滿足

則必存在惟一的向量x∈E，使x關於{e_α}的傅里葉係數是{c_α}，即c_α=(x,e_α)，且

這一結論通常稱為里斯-菲舍爾定理。

里斯(Riesz,F.)和菲舍爾(Fischer,E.S.)於1907年最早對特殊的希爾伯特空間L²[0, 2π]和規範正交系

證明了這個定理。 ^[1] 

貝塞爾不等式是類似於勾股定理的一種不等式。貝塞爾不等式揭示了希爾伯特空間中的一個元素和它在一個正交序列上的投影之間的關係。

舉例來説，平面上的一個向量的長度的平方等於它在兩個相互垂直的座標軸上的投影的平方和，而對於一個三維空間上的向量，它在兩個相互垂直的座標軸上的投影的平方和一般會小於它自身的長度的平方，除非它就在這兩個座標軸構成的平面上。對於一個希爾伯特空間中的向量來説，它在任意一個正交序列上的投影的平方和也是小於等於它自身的長度的平方。這就是貝塞爾不等式。