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酉變換
鎖定
- 中文名
- 酉變換
- 外文名
- unitary transformation
- 所屬學科
- 數學
- 所屬問題
- 羣及其推廣( 典型羣)
- 相關概念
- 酉空間，Household變換等
- 簡 介
- 酉變換指酉空間V的等度量變換
酉變換基本介紹
酉變換是一種線性變換。設σ是酉空間V的線性變換，若對任意的α，β∈V，(σ(α)，σ(β))=(α，β)，則稱σ為V上的酉變換。設σ是n維酉空間V的酉變換，則存在V的標準正交基，使σ關於此基的矩陣為對角形，且對角線上元素的模為1。設σ是n維酉空間V的線性變換，則下列命題等價：
1.σ是酉變換；
2.|σ(α)|=|α|，對任意的α∈V；
3.σ關於標準正交基的矩陣是酉矩陣（酉變換(或正交變換)在標準正交基下的矩陣表示是酉矩陣(或正交矩陣)）；
4.若ε1，ε2，…，εn是V的標準正交基，則σ(ε1)，σ(ε2)，…，σ(εn)也是V的標準正交基
[2]
。
酉變換相關結論
定理1 設V為酉空間，則
定理2 設V為酉空間，則
在酉空間裏，同樣有對稱變換。
酉變換相關概念
對稱變換
定義 設V為酉空間，A∈L(V)，如果
對於對稱變換，我們有下面的結論。
定義 設
，如果
定理 設V為酉空間，則
關於對稱變換與埃爾米特矩陣還有下面的結論。
定理 設V為酉空間，A為V的對稱變換，則
(1)A的特徵值是實數；
(2)A的屬於不同特徵值的特徵向量正交；
(3)存在V的一個規範正交基，使得A關於這個基的矩陣是對角矩陣。
定理 設H是為n階埃爾米特矩陣，則存在n階酉矩陣U，使得
是一個對角矩陣。
Household變換
設
，且
。則由矩陣
所確定的線性變換
是
中的酉變換。
Household矩陣有以下性質：
①
；(Hermite矩陣)
②
；(酉矩陣)
③
；(對合陣)
④
；(自逆陣)
⑤若
，則
。
