遞歸圖

遞歸圖是

在水平軸上顯示

，在垂直軸上顯示

，其中

是相空間軌跡。

遞歸圖最初由Eckmann等人於1987年提出，主要用於對非線性動力系統的定性分析。遞歸圖已經成功的應用在諸如氣候變化，腦心電圖分析，股市分析等眾多領域。定量遞歸分析(recurrence quantificationanalysis，RQA)是基於遞歸圖中的對角線、水平線及垂直線的分佈對系統進行分析，從而獲得動力學系統的定量信息。

遞推圖提供了一種通過相空間可視化軌跡週期性的方法。由於高維相空間只能通過投影到二維或三維子空間中來可視化，因此相空間通常沒有足夠低的維度（兩個或三個）來被描繪。然而，通過繪製遞歸圖，我們可以通過二維表示來研究m維相空間軌跡的某些方面。

重複是指軌跡返回到它以前訪問過的位置的時間。遞歸圖描述軌跡在同一位置的成對時間的集合，即

與

的集合。這可以顯示很多東西：例如，如果軌跡是嚴格週期性的，週期為

，那麼所有這類時間對將由

的倍數分隔，並以對角線形式可見。為了繪製曲線圖，將連續時間和連續相空間離散化，例如

作為軌跡在

時的位置，並在軌跡與之前的點足夠接近（例如，在ε內）時作為遞歸計算。具體來説，遞歸/非遞歸可以以二元函數記錄為：

如果

，則遞歸圖在座標

處放置一個（黑色）點。

由於相空間軌跡的特性，遞歸圖包含典型的小尺度結構，如單點、對角線和垂直/水平線（或後者的混合，組合成擴展的簇）。這種大規模的結構，也稱為紋理，在視覺上可以表現為同質、週期性、漂移或破壞。RP的視覺外觀提供了有關系統動力學的提示。

遞歸圖中的小尺度結構被遞歸量化分析所使用（Zbilut&Webber 1992；Marwan等人，2002）。這種量化可以定量地描述遞歸圖，並研究系統的躍遷或非線性參數。與依賴於嵌入參數選擇的遞歸量化分析的啓發式方法不同，一些獨立於嵌入的相關維數、K2熵或互信息等動態不變量也可以從遞歸圖中導出。這些動力學不變量的基礎是遞推率和對角線長度的分佈。

關閉返回圖類似於遞歸圖。不同之處在於，重複之間的相對時間用於y軸（而不是絕對時間）。

遞歸圖的主要優點是，即使對於其他方法失敗的短數據和非平穩數據，它們也能提供有用的信息。

多變量遞推圖擴展為交叉遞推圖和聯合遞推圖。

交叉遞歸圖考慮了同一相空間中兩個不同系統的相空間軌跡（Marwan&Kurths，2002）：

兩個系統的維度必須相同，但考慮的狀態數（即數據長度）可能不同。交叉遞歸圖比較兩個系統相似狀態的出現。它們可以用來分析兩個不同系統之間動力學演化的相似性，在兩個系統中尋找相似的匹配模式，或者用來研究兩個時間尺度不同的相似系統的時間關係（Marwan&Kurths 2005）。

聯合遞歸圖是所考慮子系統的遞歸圖的Hadamard乘積（Romano等人，2004），例如，對於兩個系統

和

聯合遞歸圖是

與交叉復發圖相比，聯合復發圖比較兩個（或更多）系統中同時出現復發的情況。此外，所考慮的相空間的維數可以不同，但對於所有子系統，所考慮的狀態數必須相同。聯合遞歸圖可用於檢測相位同步。