遞歸可枚舉集

遞歸可枚舉集合（英語：Recursively enumerable set）是可計算性理論或更狹義的遞歸論中的一個概念。可數集合S被稱為是遞歸可枚舉、計算可枚舉的、半可判定的或可證明的，如果

或者等價的説，

包含所有可遞歸枚舉集合的複雜性類是RE。

共同的編程意義會暗示出如何轉換一種算法到等價的另一種算法。第一種情況説明了為什麼有時説半可判定的，而第二種情況説明了為什麼叫計算可枚舉的。

可數集合

是遞歸可枚舉的，如果存在一個偏可計算函數

使得

換句話説，

是

的域：

(注意這是偏函數的域的兩種可能意義之一，是在遞歸論中所偏好的定義域。參見在偏函數中的討論。)集合

被成為co-遞歸可枚舉的或co-r.e.，如果

的補集是遞歸可枚舉的。

可數集合

被叫做遞歸可枚舉的，如果存在着一個偏可計算函數，使得

是

的值域：

被稱為枚舉函數，因為它關聯上一個枚舉上的次序到

的每個元素 ^[1]  。

設有一集合A與一函數α(x)，如果α(x)=0當且僅當x∈A，則α(x)叫做A的特徵部分函數,如果還有α(x)=1,當且僅當x∈A,則α（x）叫做A的特徵全函數,簡稱特徵函數。如果一集合A的特徵部分函數（也是特徵函數）是遞歸全函數，則A叫做遞歸集；如果一集A的特徵部分函數是遞歸部分函數，則A叫做部分遞歸集；部分遞歸集又可定義為某個遞歸部分函數的定義域。顯然，A為遞歸集當且僅當：任給x,x屬於A與否，恆可在有限步內判定；A為部分遞歸集當且僅當：任給x，如果x∈A,則必可在有限步內判定，但如果x不屬於A，可能永遠不知道這件事（除非從別的途徑）。因此有下列結果：

①如果A為遞歸集，則A為部分遞歸集；

②A為遞歸集當且僅當A的補集亦為遞歸集；

③A為遞歸集當且僅當A與它的補集都是部分遞歸集。

最後一點可看出：如果x∈A,因A為部分遞歸集必可在有限步內看出；如果x唘A,因A的補集為部分遞歸集亦可在有限步內看出，從而A必為遞歸集。

遞歸可枚舉集是指它是某個一般遞歸函數（即遞歸全函數）ƒ(x)的值域。因為遞歸全函數ƒ(x)的每一個值都可在有限步內算出，可以逐步地計算

從而得出遞歸可枚舉集的所有元素。這便是遞歸可枚舉集名稱的來源。ƒ（x）叫做該集的枚舉函數，可能有兩值ƒ(α)與ƒ(b)是相等的，即容許重複枚舉。如果ƒ(x)是不減函數或(嚴格)遞增函數，便叫做不減枚舉或（嚴格）遞增枚舉。

顯然，如果x在一個遞歸可枚舉集A內，必可在有限步內判定（只須依次計算ƒ(0)，ƒ(1)，…，便可）；但如果x不在A內，而A又不是嚴格遞增枚舉,則很可能人們永遠也不知道這事。根據上述部分遞歸集的特性，可知遞歸可枚舉集都是部分遞歸集。反之,如果A為部分遞歸集，命其特徵部分函數為α(x)，當A為空集時,它當然不是任何遞歸全函數的值域，當A非空集時,則在第一階段對α(0)，α(1)各計算1步,第二階段對α(0),α(1)，α(2)各計算2步，…，第n階段對α(0),α(1),α(2),…，α(n)各計算n步,…,並把首先出現的α(x)=0的根取為ƒ(0),以後在每一階段之末均把在該階段時所已知的α(x)=0的根取為ƒ在新主目處的值，ƒ必為遞歸全函數,而且A的元素恰巧便是ƒ(0)，ƒ(1)，…的值。可見非空的部分遞歸集必是遞歸可枚舉集。一般還把空集也算作遞歸可枚舉集，這樣兩種集便一致起來了。

可以證明，A為遞歸可枚舉集當且僅當它是某個原始遞歸函數的值域，又當且僅當它是某個初等函數的值域。另一方面,A為遞歸可枚舉當且僅當它是某個遞歸部分函數的值域，只須仿照上法,在第n階段計算ƒ(0),ƒ(1),…，ƒ(n)各n步,便可把遞歸部分函數的值全部都枚舉出來了。

已有辦法把全體遞歸部分函數全部枚舉起來，因此也可以把它們的定義域或值域全部枚舉起來。設把第 x個遞歸部分函數的定義域（值域）記為Wx，則Wx便是全體部分遞歸集（遞歸可枚舉集）的枚舉（注意其中是有重複的）。如命K={x:x∈Wx}（即如果x恰巧在第x個部分遞歸集之內,便把x作為K 的元素），則K是一個遞歸可枚舉集但不是遞歸集，從而K 的補集既不是遞歸集又不是遞歸可枚舉集。這是人們作出的第一個不是遞歸可枚舉集的例子，它也是一個很重要的集，對它已有充分的研究。

此外，如果ƒ 為遞歸部分函數，A為遞歸可枚舉,則ƒ-1(A)也是遞歸可枚舉集。 　著名的希爾伯特第10問題是：有沒有一個能行方法，可決定任給的一個不定方程是否有整數解?這裏P、Q是兩個具有整係數的多項式。這個問題到1970年已經被否定地解決了,即如果把“能行方法”理解為“用計算遞歸全函數的方法”，那末可以證明：這個能行方法是沒有的。因為任何一個部分遞歸集（遞歸可枚舉集）A,都有兩個帶整係數的多項式P、Q，使得 　 特別是當A即集合K時,也可找出相應的兩個多項式P、Q。既然K不是遞歸的，x屬於K與否是不能遞歸地判定的,那末對於“什麼樣的x能夠使有解”的問題，也就不能遞歸地判定了。 　上面關於集合的討論可以推廣到n元關係去。就n元關係R(x1,x2,…,xn)而言,如果R(x1,x2,…，xn)成立當且僅當，則ƒ(x1,x2,…,xn)叫做R(x1,x2,…,xn) 的特徵部分函數，如果還要求：R(x1,x2，…,xn)不成立當且僅當,則ƒ 叫做R的特徵全函數，簡稱特徵函數。如果關係R(x1,x2,…,xn)的特徵部分函數(也是特徵函數)是一個遞歸全函數，則R叫做遞歸關係；如果R(x1,x2,…,xn)的特徵部分函數是遞歸部分函數，則R叫做部分遞歸關係。有了這些定義以後，以上的討論完全可以推廣到遞歸關係與部分遞歸關係方面來。當然,由於函數的值是一個數而不是n元向量，所以“遞歸可枚舉關係”不能定義為某個遞歸全函數的值域而只能定義為部分遞歸關係。 但是對遞歸關係而論，有下列的結果，這是討論遞歸時所沒有的。

① R(x1，x2，…,xn)為部分遞歸關係當且僅當有一個n+1元遞歸關係或部分遞歸關係 W 使得。

② R(x1,x2,…,xn)為部分遞歸關係當且僅當有一個n+m 元遞歸或部分遞歸關係W 使得。

③ A為部分遞歸集當且僅當有一個二元遞歸或部分遞歸關係W 使得 ^[2]  。