反饋

連續小波變換

儘管傅里葉變換及其離散形式DFT已經成為信號處理，尤其是時頻分析中最常用的工具，但是，傅里葉變換存在信號的時域與頻域信息不能同時局部化的問題。故Dennis Gabor於1946年引入短時傅里葉變換（Short-Time Fourier Transform）。短時傅里葉變換的基本思想是：把信號劃分成許多小的時間間隔，用傅里葉變換分析每個時間間隔，以便確定該時間間隔存在的頻率。

中文名: 連續小波變換

外文名: Continuous wavelet transform
應用學科: 通信

短時傅里葉變換（STFT）其窗口函數通過函數時間軸的平移與頻率限制得到，由此得到的時頻分析窗口具有固定的大小。對於非平穩信號而言，需要時頻窗口具有可調的性質，即要求在高頻部分具有較好的時間分辨率特性，而在低頻部分具有較好的頻率分辨率特性。為此特引入窗口函數，並定義變換。其中，a R且a≠0。該式定義了連續小波變換，a為尺度因子，表示與頻率相關的伸縮，b為時間平移因子。

很顯然，並非所有函數都能保證上式中表示的變換對於所有f∈L²(R)均有意義；另外，在實際應用尤其是信號處理以及圖像處理的應用中，變換隻是一種簡化問題、處理問題的有效手段，最終目的需要回到原問題的求解，因此，還要保證連續小波變換存在逆變換。同時，作為窗口函數，為了保證時間窗口與頻率窗口具有快速衰減特性，經常要求函數ψ(x)具有如下性質： ≤ ， ≤ 其中，C為與x，無關的常數，ε>0。

連續小波變換原理

1.1連續小波基函數

所謂小波(wavelet)，即存在於一個較小區域的波。小波函數的數學定義是：設ψ(t)為一平方可積函數，即ψ(t)∈L²(R)，若其傅里葉變換Ψ(ω)滿足條件：

則稱ψ(t)為一個基本小波或小波母函數，並稱上式是小波函數的可允許條件。

根據小波函數的定義，小波函數一般在時域具有緊支集或近似緊支集，即函數的非零值定義域具有有限的範圍，這即所謂“小”的特點；另一方面，根據可允許性條件可知Ψ(ω)|_ω=0=0，即直流分量為零，因此小波又具有正負交替的波動性。下圖為一個小波的例子。

將小波母函數ψ(t)進行伸縮和平移，設其伸縮因子(亦稱尺度因子)為a，平移因子為τ，並記平移伸縮後的函數為ψ_a，r(t)，則：

並稱ψ_a，r(t)為參數為a和τ的小波基函數。由於a和τ均取連續變化的值，因此又稱之為連續小波基函數，他們是由同一母函數ψ(t)經伸縮和平移後得到的一組函數系列。

連續小波基函數的一個重要性質是窗口面積不隨參數a、τ而變，它是小波母函數的時、頻窗口寬度Δt和Δω的積。這正是海森堡測不準原理指出的：Δt、Δω的大小是互相制約的，乘積ΔtΔω≥1/2，並且僅當函數ψ(t)為高斯函數時等號成立。將不同a、τ值下的時、頻域窗口繪在同一個圖上，就得到小波基函數的相平面，如下圖。小波的這一性質是時頻分析的重要依據。