透視仿射對應

透視仿射對應(perspective affine correspondence)亦稱平行投影，是仿射幾何中的一種對應，指兩個點集間通過平行投影所建立的對應。設α與β是兩個平面(如圖1)，過α內各點A，B，C，…，引直線平行於給定的方向，交β於A′，B′，C′，…，這樣使α內的點與β內的點建立起一種一一對應關係，這種對應稱為α到β的透視仿射對應。透視仿射對應與給定的方向有關，沿不同方向作平行線，就得到α與β間不同的透視仿射對應，透視仿射對應保持同素性，即在該對應下，對應的幾何元素保持同一種類。例如，它把點仍變成點，另外，把直線仍變為直線，透視仿射對應還保持點與直線的結合性(即點在直線上或直線經過點)，兩直線的平行性及共線三點的單比不變 ^[2]  。

設

為平面上另一直線，它與直線a和a'均不平行，通過直線a上各點A，B，C，…分別作

的平行線交a'於A'，B'，C'，…，這樣便得到了直線a到a'的一個一一對應，稱為透視仿射對應(平行射影)，如圖2所示，顯然，透視仿射對應和直線

的方向有關。如果直線a和a'相交，則交點是自對應點或稱為二重點(不變點) ^[3]  。

設有平面

和

，直線

與平面

和

都不平行，如圖3所示，通過平面

內各點A，B，C，……分別作

的平行線交平面

於A'，B'，C'，……，這樣平面

內的點與平面

內的點建立了一一對應，稱為平面

到

的透視傷射對應(平行射影)。顯然，平面

和

間透視仿射對應也與直線

的方向有關。如果平面

和

相交於直線m，則m上的每一個點都是自對應點(二重點) ^[3]  。

透視仿射對應的性質：

(1)透視仿射對應保持同素性。

(2)透視仿射對應保持結合性。

(3)透視仿射對應保持共線三點的單比不變。

(4)透視仿射對應保持二直線的平行性 ^[3]  。

設P₁，P₂，P為共線三點，定義

其中

是有向線段

的數量，稱

為共線三點P₁，P₂，P的單比，P₁，P₂叫基點，P叫分點。

當P在P₁，P₂之間時，(P₁P₂P)<0；

當P不在P₁，P₂之間時，(P₁P₂P)>0；

當P與P₁重合時，(P₁P₂P)=0；

當P與P₂重合時，(P₁P₂P)不存在 ^[3]  。