近代解析應用數學基礎

本書是為理工科研究生學習現代解析數學及其應用基礎知識而編寫的它以泛函分析為主線，與幾個方面的應用相結合，形成了一個統一的有機整體主要內容包括集合與映射，幾類常用的抽象空間的概念和性質，線性算子和線性泛函的基本知識；泛函的極值問題，優化方法及變分法的基礎理論和方法；算子方程的性質和近似數值解法(變分原理，有限元法和加權餘量法等)；廣義函數的基本概念、基本運算和Fourier變換等，還包括Sobolev空間的簡要介紹，小波變換和小波分析(窗口Fourier變換、連續小波變換，離散小波變換，多分辨分析和小波正交基，小波算法等)。

本書可作為理工科研究生或高年級本科生學習現代解析數學及其應用基礎知識的教材，也可作為廣大科技工作者學習現代應用解析數學的參考書。

第一章 度量空間

1.1 集合與映射

1.2 線性空間

1.3 度量空間

1.4 勒貝格(Lebesgue)積分和Lp空間

1.5 度量空間的拓撲性質

1.6 度量空間的可分性、完備性和緊性

習題

參考書目

第二章 賦範空間和內積空間

2.1 賦範線性空間

2.2 內積空間和希爾伯特空間

2.3 內積空間中的正交和投影

2.4 內積空間的標準正交基

2.5 在逼近論中的應用

習題

參考書目

第三章 線性算子和線性泛函

3.1線性算子

3.2 有界線性算子

3.3 有界線性泛函和對偶空間

3.4 希爾伯特伴隨算子

3.5 希爾伯特空間的自伴算子、酋算子和正規算子

3.6 投影算子

3.7 希爾伯特空間中的無界線性算子

習題

參考書目

第四章 泛函的極值問題

4.1 泛函極值問題的提法

4.2 泛函的微分(變分)

4.3 泛函的無約束極值

4.4 泛函的約束極值問題

4.5 求泛函極值的下降法

習題

參考書目

第五章 線性算子方程

5.1 壓縮映射與不動點原理

5.2 線性算子的譜

5.3 微分算子方程

5.4 積分算子方程

5.5 算子方程的變分原理

5.6 變分方程的瑞利—里茲(Rayleigh-Ritz)解法

5.7 基於變分原理的有限元法

5.8 加權餘量法

習題

參考書目

第六章 廣義函數

6.1 引入廣義函數的必要性

6.2 基本空間和廣義函數

6.3 廣義函數的基本運算

6.4 廣義函數的傅里葉(Fourier)變換

6.5 偏微分方程的廣義解

6.6 索伯列夫(Sobolev)空間

習題

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第七章 小波分析

7.1 窗口傅里葉變換

7.2 連續小波變換

7.3 離散小波變換

7.4 多分辨分析和小波正交基

7.5 緊支集正交小波基

7.6 小波框架

7.7 小波分解與重構算法

7.8 小波與取樣定理

7.9 二維正交小波基

7.10 小波與算子方程計算

參考書目