轉移概率矩陣

轉移概率矩陣：矩陣各元素都是非負的，並且各行元素之和等於1，各元素用概率表示，在一定條件下是互相轉移的，故稱為轉移概率矩陣。如用於市場決策時，矩陣中的元素是市場或顧客的保留、獲得或失去的概率。P表示k步轉移概率矩陣。 ^[1] 

轉移概率矩陣有以下特徵：

（1）

，

（2）

，即矩陣中每一行轉移概率之和等於1。

所謂矩陣，是指許多個數組成的一個數表。每個數稱為矩陣的元素。矩陣的表示方法是用括號將矩陣中的元素括起來，以表示它是一個整體。如A就是一個矩陣：

這是一個由m行n列的數構成的矩陣， 表示位於矩陣中第i行與第j列交叉點上的元素， 矩陣中的行數與列數可以相等，也可以不等。當它們相等時，矩陣就是一個方陣。

由轉移概率組成的矩陣就是轉移概率矩陣。也就是説構成轉移概率矩陣的元素是一個個的轉移概率：

假定某大學有1萬學生，每人每月用1支牙膏，並且只使用“中華”牙膏與“黑妹”牙膏兩者之一。根據本月（12月）調查，有3000人使用黑妹牙膏，7000人使用中華牙膏。又據調查,使用黑妹牙膏的3000人中，有60%的人下月將繼續使用黑妹牙膏，40%的人將改用中華牙膏； 使用中華牙膏的7000人中， 有70%的人下月將繼續使用中華牙膏，30%的人將改用黑妹牙膏。據此，可以得到如表－1所示的統計表。

表－1 兩種牙膏之間的轉移概率

上表中的4個概率就稱為狀態的轉移概率，而這四個轉移概率組成的矩陣，

稱為轉移概率矩陣。可以看出， 轉移概率矩陣的一個特點是其各行元素之和為1。 在本例中，其經濟意義是：使用某種牙膏的人與將來使用各種品牌牙膏的人數百分比之和為1。

用轉移概率矩陣預測市場佔有率的變化：

有了轉移概率矩陣，就可以預測，到下個月（1月份）使用黑妹牙膏和中華牙膏的人數，計算過程如下：

即：1月份使用黑妹牙膏的人數將為3900，而使用中華牙膏的人數將為6100。

假定轉移概率矩陣不變，還可以繼續預測到2月份的情況為：

這裏

稱為二步轉移矩陣，也即由12月份的情況通過2步轉移到2月份的情況。二步轉移概率矩陣正好是一步轉移概率矩陣的平方。一般地， k步轉移概率矩陣

正好是一步轉移概率矩陣的k次方。可以證明，k步轉移概率矩陣中,各行元素之和也都為1。 ^[2]