軌道力學

人造天體與自然天體在萬有引力場中的運動規律類似，因此軌道力學的很大一部分內容源自天文學中的天體力學，而天體力學的發展則可追溯到早期的古典天文學。

1、原始天文觀測時期

生活在地球上的人類，很早以前就對一些基本的天文現象有了認識。先民們通過肉眼觀測天體，將天象及其變化記錄成冊，以此來辨別方向、確定時辰、編制曆法，安排重大的社會活動。大約在公元前4000年，古埃及人就注意到每當天狼星第一次於日出之前在東方的地平線上出現，尼羅河就開始氾濫，這個天象被稱為天狼星的偕日升。古埃及人把偕日升作為一年的開始，經過長期觀測確定出兩次天狼星偕日升的時間間隔為365．25天，並以此為基礎建立了曆法，這就是現在全世界通行的公曆的前身。我國天文學的起源可追溯到久遠的年代，在最古老的歷史文獻《尚書 堯典》中就有記載：“寅賓日出，平秩東作，日中星鳥，以殷仲春”，是説當日出正東時就是春分日，要舉行祭祀，以利農耕。在我國漢代已經出現了比較精確的日晷，通過測量日影的移動來確定時辰。 ^[1] 

古人觀測天象除了作為一種實用的生存手段外，神秘的天象也給人在感性上帶來驚異和敬畏的衝擊，人們企圖利用天上出現的偶然現象對人間事務和個人命運進行預測，這就是星佔。在古巴比倫就有一批職業的星占學家，時刻關注和記錄着天空的變化，長期以來形成了可觀的天象記錄與對應解釋，公元前17世紀古巴比倫記錄金星動態的泥板文書。星占學家希望有能力把握太陽、月亮和行星的運動規律，從而能預測各天體在未來某個時刻的位置，以期藉此預測人間的事務。記載有未來某時刻及對應時刻天體位置的表稱為星曆錶。事實上，對星曆錶精益求精的追求，一直到17世紀都是研究天體運動規律背後的驅動力，當然目的不再僅侷限於星佔。

2、古希臘天文學

古希臘天文學對天體運動的描述和解釋構成了古典天文學的主體。古希臘民族喜好辯論、崇尚理性、講學之風盛行。從公元前6世紀的泰勒斯到公元2世紀的托勒密近800年間，古希臘天文學發展迅速，先後出現過四大學派。

愛奧尼亞學派由泰勒斯(Thales，約公元前624-546)創立，其主要貢獻是把古巴比倫和古埃及的天文學知識介紹到希臘。該學派認為可見天空是完整球形天空的一半，圓盤狀的大地倒扣在球體中心，星辰都隨同天空圍繞北極星旋轉。 ^[1] 

畢達哥拉斯學派由著名幾何學家畢達哥拉斯(Pythagoras，約公元前570-496)創立，該學派對數最感興趣，特別強調脱離形式的純粹的數，因此容易導出這樣一種觀點，即行星在天空中複雜的視運動可以看成多種簡單運動的複合結果。該學派的菲洛勞斯(Philolaus，約公元前480-385)提出了一個地動學説，認為地球、太陽、月亮和行星都圍繞着一團中央火運行，太陽是一面大鏡子，反射了中央火發出的光芒，日月五大行星的視運動是地球也在運動的反映。畢達哥拉斯還根據月食時陰影的邊緣是弧狀的，推測出地球是球形的。

柏拉圖學派由哲學家柏拉圖(Plato，約公元前427-347)創立，該學派接受畢達哥拉斯學派圓是最完美圖形的觀點，並用這個觀點解釋宇宙。柏拉圖試圖使天文學成為數學的一個分支，並提出了一個後面幾個世紀的天文學家都致力於解決的首要問題：能否用勻速而整齊的運動解釋行星的視運動。因為相比於太陽、月亮和恆星的運動，解釋五大行星不規則的視運動是最複雜的題（圖1）。柏拉圖的學生歐多克斯(約公元前410-356)提出了同心球理論，試圖 解決柏拉圖所述的天文課題。歐多克斯設想地球是宇宙的中心，每一個天體複雜的視運動軌跡 都是由若干個同心球的勻速圓周運動複合而成的，為此毎顆行行星要設置4個同心球。亞里士 多德(Arisimle，公元前384-322)作為古希臘最偉大的思想家，在天文學方面支持歐多克斯的同 心球理論。他堅持認為大地是不動的，否則一定會觀測到恆星的週年視差。在以後的兩千多年 間，這個理由一直是地球不動的重要證據，因為宇宙的廣袤遠遠超出了古人的想象空間。亞里士 多徳還提出了自己的運動學與動力學理論，認為物體在不受外部影響的情況下將處於靜止狀態, 因此解釋物體的運動必須尋找外部的原因，這為地靜説反對地動説提供了理論依據。 ^[1] 

亞歷山大學派形成於亞歷山大大帝遠征時期，它將古希臘的幾何天文學與古巴比倫的算術天文學高度融合，開啓了古希臘天文學新的歷史時期，又稱希臘化時期。這一時期的天文學人才濟濟，成果累累。阿里斯塔克(Aristarchus，公元前310-230)在一篇名為《論日月的大小和距離》的論文中，基於希臘幾何學的演繹推理，得到太陽是一個比地球直徑大6～7倍的球體的結論(圖2)，鑑於大的物體繞小的物體轉動不合常理，因此阿里斯塔克認為地球和五個行星都以太陽為中心運轉。由於地球每年繞日一週，同時每天白轉一圈，所以才產生天體的週年變化和週日視運動，、他還認為由於恆星離地球的距離太過遙遠，因此地球公轉導致的恆星週年視差很難觀測到。阿里斯塔克是第一個提出嚴格的日心地動觀點的學者，被稱為哥白尼的先驅。

以一部《圓錐曲線論》聞名數學史的阿波羅尼烏斯(Apollonius，公元前262-190)在用勻速圓周運動描述天體運行時提出了兩種方案。在第一個方案中，行星繞地球運動，但地球並不處於圓周的中心，而是偏向一邊，行星在偏心圓上作勻速運動。第二個方案中，行星在一個較小的圓周“本輪”上作勻速運動，而本輪的中心則在一個較大的圓周“均輪”上作勻速運動，地球位於均輪的中心(圖3)。阿波羅尼烏斯的這兩個數學發明為天文學家解決行星視運動問題提供了基礎。喜帕恰斯(Hipparchus，舊譯依巴谷，公元前190-127)利用阿波羅尼烏斯的偏心圓模型來描述太陽的運動，很好地解決了四季長度不等與勻速圓周運動的矛盾。喜帕恰斯還是一位勤奮的觀測者，他對恆星方位進行了精密的測量，編制了包含有1080個恆星的星表，對促進西方天文學的發展起了很大作用。通過比較自己與前人的觀測數據，喜帕恰斯還發現了春分點的退行即歲差現象。

在喜帕恰斯之後的300年中，古希臘天文學進展不大。最令人矚目的工作是古埃及天文學家托勒密(Ptolemy，約公元后100-170，圖4)完成的，他集古希臘天文學之大成，寫成鉅著《至大論》(後來被阿拉伯人譯為《天文學大成》)。托勒密繼承了偏心圓、本輪和均輪的假設，又引人了一個重要的概念——“對點”。對點是地球在偏心圓中相對於圓心的鏡像，圓周上的點不是作勻速運動，而是變速運動，速度變化的規律是讓對點上的觀測者看起來是勻速的(圖4)。基於托勒密提供的宇宙幾何模型，能對13月和五大行星的運動給出相當精確的預報，而且從數學上講，當一級本輪預報精度不足時，還可以增加次級，乃至三級、四級本輪，直到獲得足夠的預報精度。但增加本輪的同時也增大了數學計算的難度，有文獻講哥白尼看到的托勒密體系有多達80個本輪，數學計算極其繁複，以致要從簡單性出發進行改革。此外，對點的引入使得天體的運動不再是勻速運動，這在許多人看來是對古希臘原則的冒犯，因此也成為改革托勒密體系的原因之一。無論如何，托勒密的工作代表了人類對認識自然的理性追求，是那個時期人類智慧的最高代表。在此之後的一千多年內，《至大論》一直被歐洲和西亞人奉為經典。 ^[1] 

3、阿拉伯天文學

托勒密寫成《至大論》之時，雅典文化已趨勢微。從公元476年西羅馬帝國衰亡至公元15世紀文藝復興的1000年間，歐洲的天文學幾乎沒有進展。這段時期，世界範圍內天文學的進步主要在阿拉伯世界。

阿拉伯人通過對周邊先進文化的大翻譯運動，激勵了自身天文學的起步與發展。他們很重要的一項貢獻是發展了球面三角學，極大地提高了天文學的計算能力。巴格達學派的阿爾巴塔尼第一個在天文計算中引入了正弦函數，發現了球面三角形的餘弦定理，完善了球面三角的計算方法。他還首次對托勒密的計算進行了改進，糾正了太陽的遠地點進動值和歲差常數，改進了迴歸年的長度。他最重要的一部著作是57卷的《歷算書》，哥白尼、第谷、開普勒等人都受到過該書的影響。 ^[1] 

阿拉伯人在天文觀測方面也做出了很大貢獻。他們製作了大量的大型精密觀測儀器，還發明瞭特有的儀器星盤，提高了天文觀測精度，出版了《托萊多天文表》、《烏魯伯格星表》等著作，後者被認為是介於托勒密和第谷之間最重要的恆星星表。針對托勒密模型中偏心圓和對點的不完美性，阿拉伯的學者們也提出了一些替代模型。馬拉蓋天文台的圖西(AI-Tusi，1201-1284)只是用勻速圓周運動就完成了行星運動模型的構建，代價是每個行星運動模型增加兩個本輪。圖西還構想過一種橢圓軌道的可能模型。同樣是馬拉蓋學派的學者沙提爾(A1-Shatir，1304-1375)，他發展了圖西的雙本輪模型，通過巧妙的設計消除了托勒密的對點和偏心圓，並在模型精度上首次超越了托勒密的模型。沙提爾非常重視測量精度和對理論進行實測檢驗，他是第一位為檢驗托勒密模型而把實驗引入行星理論的天文學家。 ^[1] 

12世紀以後，大量的阿拉伯人著作被譯成拉丁文，希臘人的學説以這種迂迴的方式重新進入拉丁世界，推動了現代天文學的誕生。比如，哥白尼的日心理論中消除托勒密對點和偏心圓的方法與沙提爾的模型在數學細節上幾乎一致，兩者的月亮運動模型也是一樣的，因此人們有理由相信沙提爾的模型被哥白尼改編進了他的理論之中。

天體力學(Celestial Mechanics)是應用數學和力學理論研究天體的運動和形狀的學科，它是近代自然科學發展的先鋒，直接促進了經典數學和力學理論的誕生與發展。天體力學的起源始自牛頓的經典著作《自然哲學的數學原理》，但正如牛頓所説，該書的形成是“站在巨人的肩上”，幾位先驅者的工作為牛頓的成就奠定了基礎，而人類歷史上最偉大的數學家們的參與則使得天體力學的發展終臻大成。 ^[1] 

天體力學的發展始自15世紀歐洲文藝復興時期，這一階段資本主義開始興起，為了追逐利潤需要對外擴張，海上交通迅速發展。航海事業對精密星曆錶提出更高的要求，從而引起天文學的大發展。天體力學的發展總體上可以分為三個階段，即萌芽期、奠基期和發展期。

1、萌芽期

這一時期學者們的主要工作是從天體觀測數據中探尋天體的運動規律，並嘗試解釋天體運動的原因，做出傑出貢獻的科學家主要有哥白尼、第谷、開普勒、伽利略、笛卡兒等人。 ^[1] 

2、奠基期

這一階段自17世紀牛頓創立天體力學到19世紀後期，是天體力學的奠基過程。天體力學在這個過程中逐步形成了自己的學科體系，稱為經典天體力學。它的研究對象主要是太陽系內的大行星和月球，研究方法主要是經典數學分析方法，即攝動理論。 ^[1] 

3、發展期

自19世紀後期到20世紀50年代，是天體力學的發展期。在研究對象方面，增加了太陽系內大量的小天體，如小行星、彗星和行星衞星等；在研究方法方面，除繼續改進分析方法外，增加了定性方法和數值方法，但它們主要作為分析方法的補充。這段時期可以稱為近代天體力學時期。 ^[1] 

軌道力學是航天動力學的重要組成部分。航天動力學(Astrodynamics)是應用數學、力學和控制理淪研究航天飛行器運動規律和控制方法的科學，它是隨着火箭推進技術和控制理論的發展而逐漸興起的。航天動力學的主要研究內容可分為三個方面：

火箭動力學：研究推進裝置工作時飛行器質心的運動與控制規律；

軌道動力學：研究在中心天體引力和其它攝動力作用下質心的運動規律；

姿態動力學：研究飛行器相對於自身質心以及各組成部分問的姿態運動與控制規律。

航天器的軌道包括髮射軌道、運行軌道和返回軌道，因此軌道力學的研究內容既包括軌道動力學，又包括火箭動力學。雖然軌道力學也採用天體力學的研究方法，但它已經超出了傳統天體力學的研究範圍。一方面，絕大多數航天器運行在近地空間，受力環境複雜、軌道角速度大，因此攝動分析與精確軌道計算更加困難；另一方面，由於能夠根據需要設計和改變航天器的飛行軌道，軌道設計、軌道控制成為重要的研究內容。

與天體力學不同，航天動力學的發展大多是由大型航天工程推動的，研究內容更加註重實用性。以1957年發射第一顆人造地球衞星為界，航天動力學的發展大致可以分為兩個階段。 ^[1] 

1、早期發展

航天動力學的早期發展階段主要是對火箭推進技術的探索。

俄國科學家齊奧爾科夫斯基(Konstantin Tsiolkovsky，1857-1935，圖5)是現代航天學和火箭理論的奠基人。1898年，他完成了著名論文《用於空間研究的反作用飛行器》，推導了理想情況下計算火箭速度增量的齊奧爾科夫斯基公式，並建議使用液氫/液氧的液體推進劑和多級火箭。蘇聯的另一位太空飛行先驅燦德爾(Friedirch Tsander，1887-1933)積極宣傳和推動齊奧爾科夫斯基的研究工作，並於1931年在莫斯科組建了“反作用推進研究小組”(GIRD)，剛從大學畢業的科羅廖夫(Sergey Korolyov，1907—1966)參加了小組的籌建。1933年，GIRD研製的火箭發射成功，飛行到了75m左右的高度，這是蘇聯發射成功的第一支火箭。這時GIRD已經與另一個火箭研究小組合並組成新的研究機構“反作用推進科學研究所”，科羅廖夫被任命為副主任，並逐漸成長為冷戰期間蘇聯火箭設計的靈魂人物。 ^[1] 

美國科學家戈達德(Robert Goddard，1882-1945)是火箭理論與技術的先驅。1919年，戈達德在史密森學會發表了名為《一種達到極大高度的方法》的論文，詳細敍述了火箭飛行的數學理論，並論證了空間飛行與飛向月球的可能性。戈達德更大的貢獻是在火箭試驗方面(圖6)，他於1926年成功試射了世界上第一枚用液體化學燃料作動力的火箭，並設計了多級火箭，每級火箭都將載荷推到更高的高度，直至飛出大氣層，這種設計思想一直沿用到今天。戈達德還成功試射了第一枚用電力控制的火箭和用陀螺儀控制的火箭，第一個將拉瓦爾噴管和渦輪一泵系統應用到火箭發動機上。德國科學家利用他的設計思想製造了V-2火箭(圖6)。戈達德一生獲得了214個火箭方面的專利，其中大多是關於液體燃料火箭和相關部件的。為紀念他，1959年美國航空航天局(NASA)以他的名字命名了一個新成立的飛行控制中心。 ^[1] 

德國火箭專家奧伯特(Hermann Oberth，1894-1989)奠定了液體火箭的理論基礎，被譽為歐洲火箭之父。奧伯特的主要貢獻是理論上的，他在1923年發表了經典著作《飛往星際空間的火箭》，為早期火箭技術的發展奠定了理論基礎。1929年，奧伯特成立了一個火箭製造小組，柏林工大的學生馮·布勞恩(WernheJ von Braun，1912-1977)參與了這個小組。後來，奧伯特和馮·布勞恩參加了納粹德國的火箭計劃，馮·布勞恩被任命為技術總負責人，研製出了以乙醇/液氧為推進劑的V-2火箭。V-2火箭的射程達320km，最大速度6Ma，使用的A-4火箭發動機完全是以奧伯特的理論框架為基礎的。第二次世界大戰結束後，馮·布勞恩被招募到美國，成為冷戰期間美國火箭設計的領軍人物。為完成“阿波羅”登月計劃，在馮·布勞恩的領導下美國研製成功了巨型運載火箭“土星V號”，起飛推力達3400t，達到了當時火箭技術的最高成就。 ^[1] 

2、近期發展

航天動力學的近期發展是以一系列的航天工程為背景，在解決實際的工程應用問題中逐漸進步的。

1957年10月4日，蘇聯的第一顆人造地球衞星Sputnik發射升空，開啓了人類探索太空的序幕(圖7)。一個月後，蘇聯發射了第二顆衞星SputnikⅡ，並搭載了一條名為“萊依卡”的小狗，同時實現了對太陽紫外線、x射線和宇宙射線的探測。1958年1月，美國的第一顆衞星“探索者”1號成功進入地球軌道。1960年，美國發射了“回聲”I號，它帶有鋁製外殼，可以被動地反射聲音和圖像信號，向人們展示了衞星通信的可行性，人類開始利用太空來改善自己的生活。1964年，美國發射了第一顆實用的地球同步衞星，並藉助這顆衞星轉播了東京夏季奧運會。此後，各類科學衞星、通信衞星、氣象衞星、遙感衞星、導航衞星陸續發射升空，目前已有6000多顆，全方位地改變了人類的生活。離開地球進入太空一直是人類的夢想。1961年4月12日，蘇聯航天員尤里·加加林乘坐“東方”1號宇宙飛船進入太空，繞地球飛行一週後安全返回地面，實現了人類的第一次太空飛行。1966年1月，兩艘“聯盟”號飛船在軌道上完成交會對接。1971年，蘇聯第一個空間站“禮炮”l號發射升空，並與“聯盟”號飛船對接成功。1981年4月，美國航天飛機“哥倫比亞”號進入太空，繞地球飛行36圈後成功返回地球並實現水平着陸。1996年，經過10年的建設週期，第一個真正意義上的空間站“和平”號完成建設，但在4年後就因部件老化和缺乏維修經費而墜入地球大氣燒燬。我國經過40多年的努力，已發射了百餘顆人造地球衞星，完成了載人航天、交會對接等重大任務，目前正在實施空間站建設。數量眾多的近地航天器的發射和運行，帶來了軌道攝動分析、軌道設計、軌道機動、相對運動控制等一系列嶄新的課題，為軌道力學的發展提供了廣闊的空間。 ^[1] 

瞭解宇宙的起源與演變，探究生命存在的意義一直是人類最感興趣的話題。早期人們只能藉助天文望遠鏡觀測地外天體，太空飛行技術提供了新的研究手段。月球作為地球唯一的天然衞星，也是離地球最近的天體，自然成為深空探測的第一個目標。1959年1月2日，蘇聯的“月球”1號順利升空，並未經停泊直接奔向月球，成為第一個達到第二宇宙速度的人造物體。可惜的是，由於計算錯誤，“月球”1號未能實現預期的撞月目標。同年9月，“月球”2號成功撞擊月球；10月，“月球”3號成功繞到月球背面，傳回了第一張月球背面的圖片。1966年1月，“月球”9號成功實現月面軟着陸。1970年9月，“月球”16號到達月球后採集月壤樣品101g，併成功返回地球。美國最成功的月球探測項目當屬“阿波羅”計劃。1961年，美國啓動“阿波羅”計劃。作為前期準備，先後發射了三個系列的月球探測器，即“徘徊者”(Ranger)、“勘察者”(Surveyor)和“月球軌道器”(Lunar Orbiter)，為了解月貌、選擇登月着陸點完成了技術準備。1969年7月，“阿波羅”11號實現月球軟着陸，阿姆斯特朗在月球上留下了人類的第一個腳印(圖8)。我國在2004年發射了第一顆月球探測器“嫦娥”一號，實現了對月球的環繞探測。2013年，“嫦娥”三號探測器成功實現月面軟着陸。 ^[1] 

行星和行星際探測器加深了人類對太陽系的認識。1960年3月，美國成功發射了第一個行星際探測器“先驅者”5號，進入了一條橢圓日心軌道，測量了行星際磁場、行星際粒子和太陽風。金星和火星是目前人類探測最多的兩顆除地球之外的行星。1962年，美國的“水手”2號成功飛掠金星，發現金星沒有磁場和輻射帶。1970年，蘇聯的“金星”7號第一次降落金星表面。1964年，美國發射的“水手”4號成為第一個飛掠火星的探測器，首次傳回了另一顆行星的圖像，並測量了火星的大氣和輻射情況。1975年，“海盜”1號在火星表面軟着陸成功，發回了幾萬張火星表面的照片。除了探測大行星外，人類也向小行星、彗星以及太陽發射了多個探測器，如“近地小行星會合”探測器(NEAR)、“星辰”號(Stardust)彗星探測器、“尤利西斯”號(Ulysses)太陽探測器等。1977年發射的“旅行者”1號尤其值得關注。發射入軌後，“旅行者”l號先後探測了木星、土星和土星最大的衞星“泰坦”。2013年9月，NASA宣佈“旅行者”l號已經離開太陽系，進入星際空間，成為目前飛得最遠的人造物體(圖9)。與近地航天器相比，深空探測器在軌道設計和控制方面有更多的新技術可以利用，因此設計的空間也更大。比如，1978年發射的“國際日地探測器”3號(ISEE-3)入軌到日地L₁平動點的暈軌道(Halo orbit)，實現對日地關係、太陽風和宇宙射線的探測，是第一個平動點探測器。1990年，美國和歐空局發射“尤利西斯”號太陽探測器，藉助於木星強大的引力實施變軌，最終使探測器離了於黃道面進入環繞太陽的極地軌道。1998年，美國發射“深空”實驗航天器Deep Space-1，驗證了以電推進作為主推進的可行性，小行星探測器“黎明”號(DAWN)、月球探測器SMART-1等也都以電推進作為主推進器實現了預期任務。在長期的軌道轉移過程中，電推進可能比傳統的化學推進更節省燃料，但軌道設計的難度也更大。2001年，美國發射了“起源”號(Genesis)探測器用於收集太陽風樣品，這是第一個採用現代動力系統理論設計軌道的航天器。平動點、近旁轉向、電推進、動力系統理論等新技術，以及大行星、衞星、小天體、日地空間等眾多的探測對象給深空探測軌道設計提供了廣闊的空間，成為目前軌道力學領域研究的熱點。 ^[1] 

軌道動力學研究航天器質心在外力作用下的運動規律，基本的描述公式是牛頓第二定律：(1-2-1)

（1-2-1）

式中，

為航天器相對於慣性系的位置矢量；F為作用在航天器上外力的主矢。

1、N體問題

若有N個天體，各天體的質量分佈是球對稱的，則在考慮彼此間的引力作用時，可以認為是質量集中在球心的質點。若N個天體除了相互間的引力作用外，不受其它外力的作用，則稱為N體系統。已知N體系統中各質點在t₀時刻的位置和速度，求此後任意時刻t的位置和速度的問題，稱為N體問題。

N體問題是天體力學的經典問題，也是最基本的問題。從牛頓開始，許多數學家和天文學家都研究過這個問題，但只在個別情況下求得了解析解。今天，人們仍在不斷嘗試用各種先進的數學手段探求N體問題的解。

N=2時稱為二體問題。二體問題有解析解，它的幾何形狀是一條圓錐曲線，可以用六個常值的軌道要素來描述。二體問題是描述航天器在天體引力場中運動時最常用的理想化模型，是軌道力學的核心內容。

2、軌道攝動

精確的理論軌道與簡化的理論軌道之差，稱為軌道攝動。此時，可把式(1-2-1)寫成(1-2-2)

（1-2-2）

式中：F₀為把中心天體看作勻質圓球時的萬有引力，是航天器上的主要作用力；F_p為其它作用力，包括中心天體的非球形引力、其它天體的引力、大氣阻力、太陽輻射壓力等，稱為攝動力，一般有F_p遠小於F₀。

不考慮F_p時，求解式(1-2-2)得到的即是簡化的理論軌道，即二體軌道。考慮F_p時求解式(1-2-2)得到精確的理論軌道，此時軌道要素成為隨時間變化的量。研究軌道要素在攝動力作用下的變化規律是軌道攝動的主要研究內容，也是經典天體力學的主要研究內容。

計算軌道攝動的主要目的是求出航天器精確的軌道運動，獲得其在任何時刻準確的位置與速度。還可以通過與實測軌道的對比，研究分析軌道攝動的變化，為天體引力場、大氣密度、地震預報等研究服務。

3、軌道確定

根據軌道測量數據確定航天器真實運行軌道的過程稱為軌道確定，簡稱定軌。航天器入軌時由於發射誤差的影響，實際軌道會與標稱軌道存在偏差；在軌運行一段時間後，由於攝動力的影響，實際軌道也會偏離標稱軌道。為完成預定任務，必須通過測量手段確定航天器的實際軌道。

軌道測量往往無法直接獲得航天器的位置、速度矢量或軌道要素，而是要通過轉換得到。不同的測軌數據有不同的換算方法。如光學望遠鏡一次測量能獲得兩個角度數據(赤經和赤緯），得不到距離信息，至少要經過三次測量才能得到軌道要素。若採用雷達測軌，一次測量可以獲得相對距離和兩個角度信息(方位角和仰角)，結合雷達的地面座標可以得到衞星的地心位置，經過兩次測量可以計算軌道要素。定軌初期，根據少量的測量數據粗略確定航天器軌道的過程稱為初軌確定。由於測量數據中含有各種誤差，因此初軌確定的精度一般不高。為提高精度，往往要利用大量的測軌數據和攝動運動模型，根據現代估計理論濾除隨機測量誤差，該過程稱為軌道改進。

軌道確定是現代航天應用巾不可或缺的技術手段，早期對它的研究則有力地推動了天體力學的發展。

4、軌道設計

航天器的發射和在軌運行並不是獨立的，要與地球、太陽等天體發生信息聯繫，以完成預定的任務。例如，為完成對地勘察、通信、測量等任務，要分析航天器的星下點軌跡和星上有效載荷對地面的覆蓋區域；為制定熱控系統、電源系統、姿控系統的工作模式，要分析與太陽的幾何方位；為完成定姿、定軌等任務，要確定與恆星的相對方位關係；為與其它航天器協同完成某些任務，要分析相互間的相對位置關係。在月球探測、行星際航行等任務中，多以接近目標天體為目的，實現這個目的的可能軌道有很多條，要從中選出一條最佳軌道，使航天器能夠以最小的燃料消耗或最短的飛行時間、用最簡單的飛行控制方法、在最便於測控的情況下到達天體附近。

上述要求給航天器軌道設計提出了多種約束條件，在這些條件下確定航天器的飛行軌道，並使某些性能指標達到最優是軌道設計的主要研究內容。

軌道控制又稱軌道機動，主要研究如何改變作用在航天器上控制力的變化規律，使航天器的質心運動軌跡滿足預期要求，可以用公式表示為(1-2-3)

（1-2-3）

式中：F_c為能夠改變的控制力；F_n為其它作用力。

很明顯，微分方程(1-2-3)的解與F_c(t)的變化規律有關，軌道控制的目的就是根據任務要求的r(t)設計F_c(t)的變化規律。

1、軌道改變與軌道轉移

這種軌道控制方式是使航天器從一個自由飛行軌道轉移到另一個自由飛行軌道，且轉移過程中速度增量較大。若初軌道與終軌道相交，通過一次變軌即可完成軌道機動過程，則稱為軌道改變；否則稱為軌道轉移。根據控制力特性的不同，又可以分為脈衝推力、有限推力、小推力等不同情形。這種軌道機動方式常用於地球同步軌道衞星發射、交會對接遠程段控制、返回式衞星離軌段控制、月球或行星探測器發射等航天任務。發射地球同步衞星時，一般先將衞星送入近地停泊軌道，然後通過一次或多次軌道轉移最終進入同步軌道。深空探測器在飛行過程中經常要經過多次變軌，由於飛行距離遠、速度增量大、引力場變化複雜，可以採用近旁轉向、氣動輔助變軌、小推力推進等技術，轉移軌道設計難度大。 ^[2] 

2、軌道調整

軌道調整的特點是初軌道與終軌道的軌道要素相差不大，軌道機動需要的速度增量較小，因此可以用軌道攝動運動方程或線性化的運動方程描述變軌過程。這種控制方式的典型應用包括航天器入軌後的初始軌道捕獲、地球靜止衞星的位置保持、對地觀測衞星的位置支持、無阻力衞星的擾動補償、星座或編隊飛行時衞星的相對位置保持、深空探測軌道的中途修正等。地球靜止衞星的位置保持是典型的軌道調整任務，目的是使衞星與地球的相對位置保持不變，這就要求軌道週期等於地球的自轉週期，偏心率和軌道傾角都接近於零。深空探測器的飛行距離遠，行星或行星際空間的探測至少要飛行幾個月的時間，很小的初始誤差都會被放大到不可接受的程度，因此在任務設計階段要仔細進行誤差分析，安排好若干次中途修正，保證到達目標天體。 ^[2] 

3、相對運動控制

相對運動控制是指兩航天器的相對距離較近，具備相對導航的測量條件，可以用相對運動方程描述的軌道機動問題。這種控制方式的應用任務包括交會對接、編隊飛行、軌道攔截的末段控制等。相對運動控制的研究主要集中在近地空間，近年來逐漸擴展到深空任務，特別是平動點編隊、平動點交會等。交會對接是一種典型的相對運動控制任務，一般先通過遠程導引段將追蹤航天器導引到目標航天器附近(比如小於100km)，追蹤器攜帶的雷達、差分GPS、光學敏感器等能夠獲得相對運動信息後，則開始近程導引。近程導引段一般基於線性化的相對運動方程(如C-W方程)設計控制律，對相對運動狀態實施閉環控制，直至滿足停靠或對接要求。軌道攔截末段控制也是一種典型的相對運動控制，它與軌道交會的區別在於不控制相對速度，只要求末端相對位置為零。軌道攔截一般通過雷達或光學導引頭獲取兩個航天器的相對運動信息，基於視線座標系內的相對運動方程設計控制律。 ^[2] 

航天器是一類有控飛行器，它與自然天體的一個重要區別是運行軌道可以人為選擇，而且運行過程巾可以通過施加控制力加以改變。因此，根據特定的航天任務，選擇最有利的運行軌道、制定最優的控制策略是航天任務中最重要的設計內容之一，軌道力學正是解決這一問題的。軌道力學在航天器任務分析、總體設計、分系統設計、發射與運營管理、應用效果評估等全壽命週期內的各個環節都有非常重要的應用，下面以太陽同步軌道氣象衞星為例加以説明。 ^[2] 

為實現對既定區域氣象特徵的良好觀測，氣象衞星一般選擇兩類軌道，太陽同步軌道或地球靜止軌道。我國的“風雲”氣象衞星以奇數編號的都是太陽同步軌道(圖10)，以偶數編號的都是地球靜止軌道。太陽同步軌道的特點是軌道面與太陽的夾角基本不變，衞星星下點經過相同緯度的當地地方平時是一樣的，因此光照條件相同，便於衞星雲圖的判讀。 ^[2] 

在衞星設計中，軌道特性對其它分系統設計至關重要，因此首先要根據衞星任務要求，初步確定衞星的軌道。太陽同步軌道的實現原理是地球扁率項引起的軌道面進動速率與平太陽週年視運動的角速率相同，因此軌道傾角、偏心率與軌道高度之間滿足一定的約束條件。為保證雲圖質量，軌道一般選擇為圓軌道，偏心率小於1‰。軌道傾角要大於90°，為實現全球觀測，最好選擇在極軌附近，由此可確定軌道高度在800～1000km。同時，希望氣象衞星能夠在一段時間內實現對特定地點的重複訪問．即軌道要求是迴歸或準迴歸軌道。考慮上述因素，以及運載火箭、地面測控網、衞星壽命、有效載荷等約束條件，可以初步確定衞星的軌道參數。 ^[2] 

衞星軌道會影響有效載荷設計，軌道高度增加，傳感器的地面覆蓋寬度增加，但分辨率降低，因此要根據雲圖的覆蓋和分辨率要求，確定載荷的設計參數，如紅外相機的視場、焦距等，衞星軌道決定了星體的光照條件，這會影響電源系統的設計，要結合衞星的功率需求確定太陽帆板的尺寸和定向方式；還會影響熱控系統設計，要分析衞星吸收的太陽輻射能量，確定熱控系統方案。還要分析衞星軌道的受攝運動，制定軌道保持策略，根據衞星壽命要求，確定軌控系統方案和燃料裝載量。 ^[2] 

衞星軌道直接影響發射方案，發射窗口的分析與計算、飛行程序的設計、入軌精度分析、軌道捕獲策略制定等都與衞星軌道相關。衞星軌道還影響測控方案設計，要分析可測控條件、計算可測控弧段，根據測控精度要求，確定測控方案。衞星發射入軌後，首先要進行軌道捕獲，消除發射誤差，使衞星能在標稱軌道運行。衞星正常工作後，要不斷進行軌道確定，支持衞星雲圖判讀；分析軌道受攝運動，當實際運行軌道與標稱軌道偏離過大時，進行軌道保持；開展軌道預報，若發現存在與微流星體或軌道碎片撞擊的風險，為避免損毀衞星，可能要實施軌道機動。 ^[2]