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車問題
鎖定
車問題(problem of rook)是一類棋盤上的組合問題,設B是一個由m行n列的方格組成的廣義棋盤,B上有一些禁用格,其餘均為可用格,車問題是:將k只象棋棋子車按下列規則分佈在棋盤B上,使得:1.每個車放在一個可用格上;2.任意兩個車不在同一行或同一列上;問不同的分佈數是多少?一個與給定的棋盤B相聯繫的m×n(0,1)矩陣A'(a'ij)稱為是一個棋陣,這裏,當B的位於第i行、j列的方格為禁用格時,a'ij=1;而當B的位於第i行、j列的方格為可用格時,a'ij=0,若Ai={j|a'ij=0,1≤j≤n},i=1,2,…,m,則{A1,A2,…,Am}是集合{1,2,…,n}的子集族,{A1,A2,…,Am}的關聯矩陣就是一個(A1,A2,…,Am)限位排列的關聯矩陣,m個車在與棋陣A'(a'ij)相應的棋盤B上的佈陣數,等於(A1,A2,…,Am)限位排列總數N0(m,n)=per A,研究車問題的主要工具是車多項式
[1]
。
- 中文名
- 車問題
- 外文名
- problem of rook
- 所屬學科
- 數學(組合學)
- 簡 介
- 一類棋盤上的組合問題
車問題基本介紹
考察由n個相異元
作成的任一個全排列
(
是由1,2,…,n作成的一個全排列)。在這個排列中,元
排在第k位,於是這個排列對應於n個車(象棋中的一種棋子)在n×n棋盤上這樣的放置方法:在第
行第k列的格子上放一個車。因為
彼此相異且
,所以在n×n棋盤上,每一行有且僅有一個車,每一列也有且僅有一個車,也就是説,任何兩個車既不同行也不同列
[2]
。
設n是任一個正整數,從一個n×n棋盤中刪去若干個格子後所得的圖形稱為一個棋盤。設C是任一個棋盤,把
個車放在棋盤C上,使得任何兩個車既不同行也不同列,k個車在棋盤C上這樣的放置方法稱為k個車在棋盤C上的一種好佈局,以
表示k個車在棋盤C上的好佈局數,並約定
。
車問題例題解析
【例1】對於棋盤C:
求
。
解:
,當k≥3時,
。
【例2】 證明:對於n×n棋盤C,有
(1)選出k個車所放的k行,有
種方法;
(2)把k個車放在已選出的k行格子上,每行放一個車,且彼此不同列,有
種方法。
由乘法原則,有