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賦範向量空間
鎖定
一個把向量映射到非負實數的函數如果滿足簡介中描述的性質,就叫做一個半範數;如果只有零向量的函數值是零,那麼叫做範數。擁有一個範數的向量空間叫做賦範向量空間,擁有半範數的叫做半賦範向量空間。
- 中文名
- 賦範向量空間
- 外文名
- normed vector space
- 名詞類型
- 數學專業術語
- 含 義
- 具有“長度”概念的向量空間
- 長度概念
- 大於或等於零
賦範向量空間概念
在數學中,賦範向量空間是具有“長度”概念的向量空間。是通常的歐幾里德空間 Rn 的推廣。Rn中的長度被更抽象的範數替代。“長度”概念的特徵是:
零向量的長度是零,並且任意向量的長度是非負實數。
一個向量 v 乘以一個標量 a 時,長度應變為原向量 v 的 |a|( a 的絕對值)倍。
三角不等式成立。也就是説,對於兩個向量 v 和 u ,它們的長度和(“三角形”的兩邊)大於 v+u (第三邊)的長度。
賦範向量空間定義
一個半賦範矢量空間(E,p)由一個矢量空間 E 以及一個 E 上的半範數p 構成。
一個賦範矢量空間(E,||·||)由一個矢量空間 E 以及一個 E 上的範數 ||·|| 構成。
賦範向量空間相較關係
線性變換和對偶空間
範數自身,作為函數,是連續的。任意兩個有限維的賦範矢量空間之間的線性變換也都是連續的。
兩個賦範矢量空間之間的一個等距變換f 是指使得對任意矢量 v 都有||f(v)|| = ||v|| 的線性變換。保距變換總是連續的單射。如果兩個賦範矢量空間之間的一個等距變換是滿射,那麼稱其為一個等距同構。兩個保距同構的賦範矢量空間在拓撲的意義上可以説是相等的(擁有相同的性質;在一者中成立的命題,在另一者中也成立)。
賦範向量空間拓撲結構
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