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托里拆利點
鎖定
在三角形的三邊各向其外側作等邊三角形，這三個等邊三角形的外接圓交於一點T，該點T即稱為托里拆利點（Torricelli's point ），而三個等邊三角形的外接圓稱為托里拆利圓。在一定條件下，托里拆利點和正等角中心、費爾馬點等是一回事。托里拆利點是由意大利物理學家托里拆利發現的
[1]
。該問題是費馬(1601-1665)作為“求一點，使它至一三角形三頂點的距離和最小"這一著名的極值問題而向意大利物理學家托里拆利(1608-1647)提出，併為托里拆利所解決的，當三角形內角均小於120°時點K即為所求，故稱K為托里拆利點，也稱費馬點。以後，德國斯太納((1796-1863)獨立提出並推廣了它，故又稱斯太納問題
[2]
。
- 中文名
- 托里拆利點
- 外文名
- Torricelli's point
- 所屬學科
- 數學
- 別 名
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正等角中心
費爾馬點
斯坦納點 - 提出者
- 意大利物理學家托里拆利
托里拆利點基本介紹
在
的外側分別作正三角形
，這三個正三角形的外接圓(托里拆利圓)相交於一點M，則點M稱為托里拆利點。三個內角皆小於120°的
的托里拆利點有如下特性：它到
三頂點的距離之和AM+BM+CM是三角形內點中到三頂點距離之和中最小的。
意大利學者托里拆利(E.Torricelli，1608-1647)，首先研究了托里拆利點的問題，因而得名。
在一定條件下，托里拆利點和正等角中心、費爾瑪點是同一點，只不過提出的角度不同。托里拆利點是從共點圓方面提出，正等角中心是從共點線方面提出，費爾瑪點則是從幾何極值方面提出的。
圖1
相關介紹
費馬點問題最早是由法國數學家皮埃爾·德·費馬在一封寫給意大利數學家埃萬傑利斯塔·托里拆利（氣壓計的發明者）的信中提出的。托里拆利最早解決了這個問題，而19世紀的數學家斯坦納重新發現了這個問題，並系統地進行了推廣，因此這個點也稱為托里拆利點或斯坦納點，相關的問題也被稱作費馬-托里拆利-斯坦納問題。這一問題的解決極大推動了聯合數學的發展，在近代數學史上具有里程碑式的意義。
托里拆利點相關例題分析
例1 在
的邊上向形外(形內)作正
，
證明：直線
相交於一點，並求這個點的三線性座標。
這個點叫做第一(第二)等角中心，第一等角中心也稱做托里拆利點或費馬點。
提示 點
具有三線性座標
，其中上面的符號對應向外作三角形，下面的符號對應向內作三角形，所以直線
用方程
給出，因此三線性座標為
托里拆利點相關介紹
《將軍巡營》解
三座兵營分別設置在大片開闊地的三處，將軍經常要去巡視。他從自己的指揮所出發，到達第一兵營後回到指揮所；再去到第二兵營後回到指揮所；最後又去到第三兵營後回到指揮所。一天，他忽然想到要把指揮所搬到少走路程的地方，卻拿不定主意，不知指揮所應放在哪兒才合適
[4]
。
這則民間傳説引起許多人的興趣，進行研究這個問題的大有人在。經歷了不知多少年，謎底始終沒有被揭開，便一直成為懸案，稱為(將軍巡營)問題。
以每座兵營為一個點，三座兵營作為頂點，便構成—個三角形。那麼，指揮所可擬作三頂點以外的另一個點，於是問題可以敍述為：試確定一點，使它至三頂點往返的距離和為最小。
往返的距離和最小，相應地，單程的距離和也最小。這樣，《將軍巡營》問題實質上就是“試求一點，使它到已知三角形的三頂點距離之和為最小。”這樣一個極值問題。
根據那則民間傳説提出這個極值問題的就是費馬，後人從他致意大利物理學家托里拆利(1608-1647)的信中見到它。
對於這類幾何極值的問題，費馬相當熟悉它的解法。
圖2
最簡明的解法是應用“等角特徵”原理。見圖2，如果三角形ABC中有一點P，那麼，當
時，這點便是費馬所提出求解的那個點，即P點是到A、B、C三點距離之和最小的點。若另取一點
，必有
《將軍巡營》問題是由費馬解決的，將軍的指揮所放在哪兒?也是費馬向托里拆利提出的那個點，後人稱為“費馬點”。
顯然，要使確定的P點產生三等角，只有當三角形的每個內角都小於120。時才存在。這樣，費馬點究竟在哪兒，就有以下答案：
若已知三角形的每個內角都小於120°，則所求的點即是與三頂點構成三等角的點：若已知三角形有一內角大於或等於120°，則所求的點是這個三角形的最大內角的頂點。
圖3
怎樣確定費馬點?見圖3，分別以三角形的三邊為—邊，向形外作等邊三角形
，則
的任兩線交點便是費馬點(實際上是三線匯交於一點P)，這點也叫三角形的“正等角中心”。
不過，托里拆利卻別出心裁地用另一種方法來定費馬點。圖3是用共點線考慮的，而托里拆利則按共點圓考慮，分別作三個等邊三角形
的外接圓，則三圓匯交於一點P(圖4)，這是費馬點，也叫“托里拆利點”，那三個圓則稱為“托里拆利圓”。
圖4
圖5
實際生活中的費馬點也是有模型的。比如，有三個不在一條直線上的三個城鎮，以這三個城鎮為頂點構成的三角形的內角沒有超過120度的。那麼，要建造一個大型購物中心，要求從三個城鎮到這個購物中心之間都建造一條直線形的公路，為了使造路費用最小，當然要使這三條路的長度之和最小。問購物中心應該建造在何處？答案是：購物中心建造在以三個城鎮為頂點構成的三角形的費馬點處。
