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費雪變換
鎖定
費雪變換（英語：Fisher transformation），是統計學中用於相關係數假設檢驗的一種方法
[1]
。
費雪變換簡介
費雪變換定義
已知N組雙變量樣本(Xi,Yi),i=1,...,N，樣本相關係數r為
於是，r的費雪變換可定義為
當 (X,Y) 為二元正態分佈且 (Xi,Yi)對相互獨立時，z近似為正態分佈。其均值為
標準差為
其中N是樣本大小，ρ 是變量X與Y的總體相關係數。
費雪變換及其逆變換
可以用於構造ρ的置信區間。
費雪變換討論
當X和Y遵循二元正態分佈時，Fisher變換是r的近似方差穩定變換。這意味着對於羣體相關係數ρ的所有值，z的方差近似恆定。在沒有Fisher變換的情況下，r的方差隨着|ρ|變小由於Fisher變換大約是| r |時的恆等函數<1/2，有時候有必要記住r的方差很好地接近1 / N，只要|ρ|不是太大，N也不是太小。這與二元正態數據的r的漸近方差為1的事實有關。
自從費希爾於1915年引入這種變換以來，這種變換的行為已經得到了廣泛的研究。費舍爾自己在1921年發現了二元正態分佈數據的z的精確分佈; 1951年Gayen確定了來自雙變量A型Edgeworth分佈的數據的z的精確分佈。 1953年霍特林計算了z的矩和泰勒級數表達式以及幾個相關的統計量，而霍金斯在1989年發現了具有有界四階矩的分佈數據的z的漸近分佈。
費雪變換應用
雖然Fisher變換主要與雙變量正態觀測的Pearson積矩相關係數有關，但在更一般的情況下，它也可以應用於Spearman秩相關係數。類似結果對於漸近分佈適用，但需要較小的調整因子。
費雪變換各種相關係數
對於不同測量尺度的變數，有不同的相關係數可用：
- Pearson相關係數（Pearson'sr）：衡量兩個等距尺度或等比尺度變數之相關性。是最常見的，也是學習統計學時第一個接觸的相關係數。
- 淨相關（英語：partial correlation）：在模型中有多個自變數（或解釋變數）時，去除掉其他自變數的影響，只衡量特定一個自變數與因變數之間的相關性。自變數和因變數皆為連續變數。
- 相關比（英語：correlation ratio）：衡量兩個連續變數之相關性。
- Gamma相關係數：衡量兩個次序尺度變數之相關性。
- Spearman等級相關係數：衡量兩個次序尺度變數之相關性。
- Kendall等級相關係數（英語：Kendall tau rank correlation coefficient）：衡量兩個人為次序尺度變數（原始資料為等距尺度）之相關性。
- Kendall和諧係數：衡量兩個次序尺度變數之相關性。
- Phi相關係數（英語：Phi coefficient）：衡量兩個真正名目尺度的二分變數之相關性。
- 列聯相關係數（英語：contingency coefficient）：衡量兩個真正名目尺度變數之相關性。
- 四分相關（英語：tetrachoric correlation）：衡量兩個人為名目尺度（原始資料為等距尺度）的二分變數之相關性。
- Kappa一致性係數（英語：K coefficient of agreement）：衡量兩個名目尺度變數之相關性。
- 點二系列相關係數（英語：point-biserial correlation）：X變數是真正名目尺度二分變數。Y變數是連續變數。
- 二系列相關係數（英語：biserial correlation）：X變數是人為名目尺度二分變數。Y變數是連續變數。
費雪變換參見
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