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負定矩陣
鎖定
實對稱矩陣A是負定的，如果二次型f(x1,x2,...,xn)=X'AX負定。矩陣負定的充分必要條件是它的特徵值都小於零。若矩陣A是n階負定矩陣，則A的偶數階順序主子式大於 0，奇數階順序主子式小於 0。
負定矩陣是矩陣類中的一種特殊矩陣，它在矩陣理論中佔有重要地位。負定矩陣可以看成是與正定矩陣對應的概念，負定矩陣與正定矩陣有着許多相似的性質。
- 中文名
- 負定矩陣
- 外文名
- negative definite matrix
- 學 科
- 線性代數
- 相 關
- 正定矩陣
- 常用判定
- 它的特徵值都小於零
- 意 義
- 在矩陣理論中佔有重要地位
負定矩陣意義
矩陣與方程組、行列式聯繫緊密，又是與自然科學和工程技術相關的數學應用的內容，矩陣變換是基本的數學方法，矩陣在數學中，乃至其他學科中應用廣泛。負定矩陣是矩陣類中的一種特殊矩陣，它在矩陣理論中佔有重要地位。負定矩陣可以看成是與正定矩陣對應的概念，負定矩陣與正定矩陣有着許多相似的性質。
負定矩陣定義
設
是一個二次型，對於任意一組不全為0的實數
，如果都有
，那麼
是負定的。
負定矩陣性質
性質2：若矩陣
是負定矩陣，則實二次型
的負慣性指數等於
性質3：若矩陣
是負定矩陣，則有可逆矩陣
，使
，其中，
性質4：若矩陣
是
階負定矩陣，當
是偶數時，
，當
是奇數時，
性質6：若矩陣
是負定矩陣，則
合同於
性質7：若矩陣
是負定矩陣，則
也是負定矩陣
性質8：若矩陣
是負定矩陣，則
的所有特徵值小於 0
性質9：若矩陣
是負定矩陣，則
也是負定矩陣
性質10：若矩陣
是負定矩陣，則
是正定矩陣
性質11：若矩陣
是負定矩陣，則當
是偶數時，
是負定矩陣，當
是奇數時，
是正定矩陣
性質12：若矩陣
是負定矩陣，存在可逆實矩陣
使
負定矩陣判定定理
定理1：矩陣
負定的充分必要條件是它的特徵值都小於零
推論1：若矩陣
是負定矩陣，則當
是偶數時，
是負定矩陣，當
是奇數時，
是正定矩陣
推論2：設A是對稱矩陣， 其中
是矩陣A的特徵值，當實數
， 則
是負定矩陣
推論3：任意對稱矩陣
， 必有實數
， 使得
都是負定矩陣
推論4：若矩陣
是
階負定矩陣，則
的偶數階順序主子式大於 0，奇數階順序主子式小於 0
負定矩陣例題
例1. 判斷下面的矩陣是否負定：
解：特徵多項式為：
得到特徵根：
，即特徵值全部小於0，故該矩陣是負定矩陣。
例2. 判斷二次型是否負定：
解：易知：二次型對應的矩陣為：
它的一階順序主子式
二階順序主子式：
三階順序主子式：
