貝蒂定理

設a、b是正無理數且 1/a +1/b =1。記P={ [na] | n為任意的正整數}，Q={ [nb] | n 為任意的正整數}，([x]指的是取x的整數部分)則P與Q是N+的一個劃分，即P∩Q=Ø且P∪Q=N+（正整數集）。

因為a、b為正且1/a +1/b=1，則a、b＞1，所以對於不同的整數n，[na]各不相同，類似對b有相同的結果。因此任一個整數至多在集合P或Q中出現一次。

現證明P∩Q為空集：(反證法)假設k為P∩Q的一個整數，則存在正整數m、n使得[ma]=[nb]=k。即k ＜ ma、nb＜k+1，等價地改寫不等式為

m/(k+1)＜ 1/a ＜ m/k及n/(k+1)＜ 1/b ＜ n/k。相加起來得 (m+n)/(k+1) ＜ 1 ＜ (m+n)/k，即 k ＜ m+n ＜ k+1。這與m、n為整數有矛盾，所以P∩Q為空集。

現證明Z+=P∪Q：已知P∪Q是Z+的子集，剩下來只要證明Z+是P∪Q的子集。(反證法)假設Z+\(P∪Q)有一個元素k，則存在正整數m、n使得[ma]＜ k ＜[(m+1)a]、[nb]＜ k ＜[(n+1)b]。 由此得ma ＜ k ≦[ (m+1)a]-1＜(m+1)a -1（因為a是無理數），類似地有nb ＜ k ≦[ (n+1)b]-1＜(n+1)b -1。等價地改寫為 m/k ＜ 1/a ＜ (m+1)/(k+1)及n/k ＜ 1/b ＜ (n+1)/(k+1)。兩式加起來，得

(m+n)/k ＜ 1 ＜ (m+n+2)/(k+1)，即m+n ＜ k ＜ k+1 ＜ m+n+2。這與m, n, k皆為正整數矛盾。

N+=P∪Q