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貝塞爾濾波器

貝賽爾(Bessel)濾波器是具有最大平坦的羣延遲（線性相位響應）的線性過濾器。貝賽爾濾波器常用在音頻天橋系統中。模擬貝賽爾濾波器描繪為幾乎橫跨整個通頻帶的恆定的羣延遲，因而在通頻帶上保持了被過濾的信號波形。濾波器的名字來自於Friedrich貝賽爾，一位德國數學家（1784–1846），他發展了濾波器的數學理論基礎。

中文名: 貝塞爾濾波器
外文名: Bessel

性質: 線性濾波器
特點: 具有最大平坦的羣延遲

貝塞爾濾波器簡介

貝塞爾(Bessel)濾波器具有最平坦的幅度和相位響應。帶通（通常為用户關注區域）的相位響應近乎呈線性。Bessel濾波器可用於減少所有IIR濾波器固有的非線性相位失真。

貝塞爾(Bessel)線性相位濾波器正是由於具有向其截止頻率以下的所有頻率提供等量延時的特性，才被用於音頻設備中，在音頻設備中，必須在不損害頻帶內多信號的相位關係前提下，消除帶外噪聲。另外，貝塞爾濾波器的階躍響應很快，並且沒有過沖或振鈴，這使它在作為音頻DAC輸出端的平滑濾波器，或音頻ADC輸入端的抗混疊濾波器方面，是一種出色的選擇。貝塞爾濾波器還可用於分析D類放大器的輸出，以及消除其它應用中的開關噪聲，來提高失真測量和示波器波形測量的精確度。

雖然貝塞爾濾波器在它的通頻帶內提供平坦的幅度和線性相位（即一致的羣延時）響應，但它的選擇性比同階（或極數）的巴特沃斯(Butterworth)濾波器或切比雪夫(Chebyshev)濾波器要差。因此，為了達到特定的阻帶衰減水平，需要設計更高階的貝塞爾濾波器，從而它又需要仔細選擇放大器和元件來達到最低的噪聲和失真度。^[1]

貝塞爾濾波器傳遞函數

描述貝塞耳濾波器低通濾波器的傳遞函數如下：

這裏θn(s)是一個反向貝塞耳多項式，ω0是選定的期望截止頻率。

貝塞爾濾波器簡單例子

下面是一個三階貝塞爾低通濾波

gain值為

相位為

羣延遲為

羣延遲的泰勒級數展開為

注意在ω2和ω4的二個項是零，在ω=0造成非常平坦的羣延遲。這是可以調整到零項的最大數量，因為在三階貝賽爾多項式中總共有四個係數，要求定義四個等式。一個等式是為了在ω = 0 時，結果是統一的。第二個等式指定ω =無窮時結果是零，剩下二個等式指定二個項的級數展開是零。這是n秩貝賽爾濾波的羣延遲的一般特性：在羣延遲的前n-1級數展開的項為零，因而ω = 0時羣延遲的扁平得以最大化。