解析解法

解析解(Analytical solution) 就是根據嚴格的公式推導，給出任意的自變量就可以求出其因變量，也就是問題的解，然後可以利用這些公式計算相應的問題。所謂的解析解是一種包含分式、三角函數、指數、對數甚至無限級數等基本函數的解的形式。用來求得解析解的方法稱為解析法(Analytical techniques)，解析法即是常見的微積分技巧，例如分離變量法等。解析解是一個封閉形式(Closed-form) 的函數，因此對任一自變量，我們皆可將其帶入解析函數求得正確的因變量。因此，解析解也被稱為封閉解(Closed-form solution)。

數值解(Numerical solution) 是採用某種計算方法，如有限元法， 數值逼近法，插值法等得到的解。別人只能利用數值計算的結果，而不能隨意給出自變量並求出計算值。當無法藉由微積分技巧求得解析解時，這時便只能利用數值分析的方式來求得其數值解了。在數值分析的過程中，首先會將原方程加以簡化，以利於後來的數值分析。例如，會先將微分符號改為差分（微分的離散形式）符號等，然後再用傳統的代數方法將原方程改寫成另一種方便求解的形式。這時的求解步驟就是將一自變量帶入，求得因變量的近似解，因此利用此方法所求得的因變量為一個個離散的數值，不像解析解為一連續的分佈，而且因為經過上述簡化的操作，其正確性也不如解析法可靠。

簡而言之，解析解就是給出解的具體函數形式，從解的表達式中就可以算出任何對應值；數值解就是用數值方法求出近似解，給出一系列對應的自變量和解。 ^[1] 

儘管解析解法在求解複雜的水動力彌散方程定解中存在一定缺陷，但仍然不可忽略它所起的作用。室內或野外試驗都要根據解析解的實用條件來進行設計，並用解析解去擬合觀測資料以求得水動力彌散係數。解析解中將瞬時注入點源問題的解稱為基本解。由基本解出發，利用疊加原理導出線源、面源、多點源及連續注入問題的解。因此，點源問題的解是一切解的根本，需十分重視。

普通的解析解法，只能用於非常簡單的條件，他們通常只有在某些理論研究或實驗室中人為給定的條件下才能嚴格地滿足。在野外現場往往要經過不同程度的簡化之後才能滿足解析解的應用條件。但許多情況複雜到不允許簡化解析解的適用條件，如果勉強使用，其結果已經改變了實現情況的基本條件。對於這些情況，只能另謀他法。 ^[2]