複合映射

對二元關係可以進行復合運算和逆運算，映射也是一種二元關係，按照關係的複合運算可以對複合映射給出下面定義。

定義：設映射

，

，則

與

的複合映射，是一個從

到

的映射，記作

，簡記作

，即

{

，且存在

，

，使

}。

應當注意，當複合關係是一個複合映射時，在它的表示符號中顛倒了

與

的位置而寫成了

，目的是為了將變元放在映射符號的右側，使

，因此也常稱為

對

的左複合，體現出先寫出的後進行。 ^[1] 

定理1：設映射

，

，

，則

定理1的證明：由映射與複合映射的定義可知，

與

都是

的複合映射。

對於任意

，設

，

，

，其中

，

，

，則

由於

的任意性，所以，

。證畢。

定理2：設

，

，

，則

（1）若

與

都是滿射，則

也是滿射；

（2）若

與

都是單射，則

也是單射；

（3）若

與

都是雙射，則

也是雙射。

定理2的證明：（1）設任意

，由於映射

是滿射，所以存在某個

，使得

。又因為映射

也是滿射，也必有某個

，使得

，於是

，因此

是滿射。

（2）設任意

，且

，由於映射

是單射，所以

，又由於映射

也是單射，所以

。因此，由

可得

，故

是單射。

（3）由於映射

和

都是雙射，由（1）和（2），可以得出

既是滿射又是單射，所以

也是雙射。證畢。 ^[1]