行最簡形矩陣

在階梯形矩陣中，若非零行的第一個非零元素全是1，且非零行的第一個元素1所在列的其餘元素全為零，就稱該矩陣為行最簡形矩陣。

例如矩陣：

下列三種變換稱為矩陣的行初等變換：

（1）對調兩行；

（2）以非零數k乘以某一行的所有元素；

（3）把某一行所有元素的k倍加到另一行對應元素上去。

將定義中的“行”換成“列”，即得到矩陣的初等列變換的定義。矩陣的初等行變換與矩陣的初等列變換，統稱為矩陣的初等變換。

有如下定理成立：

任一矩陣可經過有限次初等行變換化成階梯形矩陣；

任一矩陣可經過有限次初等行變換化成行最簡形矩陣；

矩陣在經過初等行變換化為最簡形矩陣後，再經過初等列變換，變化為標準形矩陣 ^[2]  ，因此，任一矩陣可經過有限次初等變換化成標準形矩陣。

行最簡形矩陣是由方程組唯一確定的，行階梯形矩陣的行數也是由方程組唯一確定的。