螺旋麪

螺旋麪是一類常見的曲面。以螺旋線和它的軸線為導線，直母線(也可以是曲母線)沿兩條導線滑動，並始終與軸線交成定角所形成的曲面稱為螺旋麪。同螺旋線一樣，螺旋麪也分成左旋和右旋兩種。在形成螺旋麪的過程中，母線上各點軌跡都是螺旋線。這些螺旋線導程相等。畫出螺旋線和軸線的投影，再畫出若干直素線的投影以及包絡線，就得到螺旋麪的投影。 ^[1]  常見的螺旋麪有正螺旋麪、斜螺旋麪（阿基米德螺旋麪）、sincos螺旋麪、漸開螺旋麪等。

直線與軸線正交時所形成的螺旋麪稱為“正螺旋麪”。正螺旋面就是讓一條直線L的初始位置與X軸重合，然後讓直線L一邊繞Z軸作勻速轉動，一邊沿z軸方向作勻速運動，則直線在這兩種運動的合成下掃出的曲面就是正螺旋麪。顯然正螺旋麪可以看做是由直線形成的，即它是一個直紋面。

使用WHY數學圖形可視化工具編程，其程序示例如下，得到的螺旋麪如圖1所示。

vertices = D1:32 D2:360u = from 0 to 3 D1

v = from 0 to (8*PI) D2

x = u*cos(v)

y = v*0.5z = u*sin(v)

直線與軸線斜交時所形成的螺旋麪稱為“斜螺旋麪”。以一條與軸線成定角相交的直線為母線，繞軸線做螺旋運動運動所形成的曲面，稱為斜螺旋麪。實質上，阿基米德螺旋麪就是正螺旋麪變化了下高度參數。使用WHY數學圖形可視化工具編程，其程序示例如下，得到的螺旋麪如圖2所示。

vertices = D1:100 D2:360u = from 0 to (2) D1

v = from 0 to (8*PI) D2

x = -u/SQRT2*cos(v)

y = u/SQRT2 + v/PI/2z = -u/SQRT2*sin(v)

直母線作螺旋運動的同時，且與導圓柱面上的螺旋線相切形成的曲面稱為漸開線螺旋麪。如圖 3中直母線AB繞軸線OO作螺旋運動，同時與導圓柱面上的螺旋線相切（切點為A 0 、A 1 、A 2、 …、A 5 ），則母線AB在空間形成了漸開線螺旋麪。漸開線的螺旋麪的直母線與導圓柱面上的素線夾角等於螺旋線的螺旋角，而螺旋升角+螺旋角=90°，如果已知導圓柱直徑 d、 螺旋麪導程 Ph 和直母線長L，既可繪製出漸開線螺旋麪的投影圖。

漸開線螺旋麪的兩個基本性質為：① 它與正截面相交所得交線為一漸開線。② 漸開線螺旋麪的直母線上任一點的運動軌跡為與曲導線具有相同導程的圓柱螺旋線。

使用WHY數學圖形可視化工具編程，其程序示例如下，得到的螺旋麪如圖4所示。

vertices = D1:100 D2:360u = from 0 to (4*PI) D1

v = from 0 to (8*PI) D2

x = 2*[cos(u+v) + u*sin(u+v)]

y = v

z = 2*[sin(u+v) - u*cos(u+v)]