螺旋線

蜘蛛網是自然界中分佈很廣，而且給人印象深刻的一種螺旋結構。蜘蛛網的結構充分地説明了蜘蛛是一個多麼了不起的、有着奇妙螺旋概念的生命 ^[3]  。

車前草的葉片也是螺旋狀排列，其間夾角為137度、30度、38度。這樣的葉序排列，可以使葉片獲得最大的採光量，且得到良好的通風。其實，植物葉子在莖上的排列，一般都是螺旋狀。此外，向日葵籽在盤上的排列也是螺旋式的 ^[3]  。

人的頭髮是從頭皮毛囊中斜着生長出來的，它循着一定的方向形成旋渦狀，這就是髮旋，且有右旋和左旋之別。實際上，髮旋是長在體表的毛旋，能使毛髮順着一定的方向生長。在野生獸類動物中，毛旋具有保護自身和適應環境的作用。它可使雨水順着一定的方向淌掉，猶如披上了一件蓑衣一般；它們排列緊密，可避免有害昆蟲的叮咬；除此，還有良好的保温作用。人類頭髮的這些作用雖然已退化到微不足道的地步，但其形式卻保留了下來 ^[3]  。

1、一隻螞蟻以不變的速率，在一個均勻旋轉的唱片中心沿半徑向外爬行，結果螞蟻本身就描繪出一條螺旋線 ^[3]  。

2、蝙蝠從高處往下飛，是按空間螺旋線——錐形螺旋線的路徑飛行的 ^[3]  。

3、在大海上追逐逃跑的敵艦或緝捕走私船隻，有時也要按着螺旋線路徑追逐 ^[3]  。

4、星體的運行軌跡有的也是螺旋線。日本國家天文台的中井直政博士，在對銀河系中部的氣體密度進行了為期3年的觀察研究後認為，銀河系是呈螺旋狀的，即星體以圓心呈螺旋狀向外擴 ^[3]  。

螺旋線，或者稱為螺線。按維度分可以分為二維螺旋線，和三維螺旋線 ^[3]  。

1、阿基米德螺線 ^[3] 

阿基米德螺線的極座標方程式為：

其中a和b均為實數。改變參數a相當於旋轉螺線線，而參數b則控制相鄰兩條曲線之間的距離 ^[3]  。

阿基米德螺線的平面笛卡爾座標方程式為 ^[3]  ：

從笛卡爾座標系到極座標系的變換 ^[3]  ：

從極座標系到笛卡爾座標系的變換 ^[3]  ：

2、費馬螺線 ^[3] 

費馬螺線是等角螺線的一種，表達式：

3、等角螺線 ^[3] 

等角螺線是指形式為：

的螺線 ^[3]  。

4、雙曲螺線 ^[3] 

極座標方程rθ=c，其中c為常數。直角座標系中，x=c*cosθ\θ，y=c*sinθ\θ。因此可見漸近線為：y=c ^[3]  。

5、圓內螺線 ^[3] 

在固定的大圓中內切一個運動的小圓，在小圓滾動的過程中，其上一個定點所形成的軌跡，,即為圓內螺線。該點會隨着兩圓半徑比值的不同而出現不同軌跡 ^[3]  。

參數方程：x=cosθ+[cos(nθ)]/ny=sinθ-[sin(nθ)]/n ^[3]  。

特別地，當小圓半徑等於大圓的一半時，小圓每一點的軌跡都是大圓的一條直徑；當小圓半徑等於大圓的四分之一時，形成的軌跡則是星形線（見圖三） ^[3]  。

當改變大小圓半徑比時，形成的軌跡見下圖一 ^[3]  ：

6、連鎖螺線 ^[3] 

連鎖螺線，英文又稱 Lituus螺線（如下圖五所示），是由高中數學三種圓錐曲線的參數化、交互式而得到的 ^[3]  。

高中數學三種圓錐曲線的參數化是所有形式為rˆ2*Θ=k的螺線。連鎖螺線rˆ2Θ=k滿足：有一水平漸近線y=0 ^[3]  。

注：公式中r為半徑，Θ為夾角，k為斜率 ^[3]  。

7、柯奴螺線 ^[3] 

柯奴螺線( KeNu spiral)，是一種數學領域的函數繪製的圖形 ^[3]  。

圓柱螺旋線 ^[3] 

圓柱螺旋線 circular helix的正面投影是正弦曲線，水平投影是圓。根據動點旋轉方向，螺旋線可分為左螺旋線和右螺旋線兩種 ^[3]  。

當一動點沿圓柱面的直母線做勻速直線運動，而該母線又同時繞圓柱面的軸線作勻速回轉運動時，該動點的軌跡為圓柱螺暶線。如圖六所示 ^{[1]  [4]  [5]  [6]  [7]}  。

其中，動點回轉運動一週時沿軸向移動的直線距離稱為導程(或螺距) ^{[1]  [4]  [5]  [6]  [7]}  。

螺旋線有右旋和左旋之分 ^{[1]  [6]  [7]}  ：

1、右旋當軸線豎直時，螺旋線可見部分自左向右上升，稱為右螺旋線 ^{[1]  [6]  [7]}  ；

2、 左旋當軸線豎直時，螺旋線可見部分自右向左上升，則稱為左螺旋線 ^{[1]  [6]  [7]}  。

因此，確定圓柱螺旋線的三個要素是：圓柱面直徑、導程、旋向 ^[1]  。

如圖七所示，設圓柱軸線垂直於H面，圓柱面直徑和導程已知，螺旋線右旋。於是該螺旋線的作圖過程為 ^{[7]  [1]}  ：

1、作圓柱面的兩面投影，並將水平投影中的圓周和正面投影中所反映的導程分成相同的等份；然後，按右旋規律將圓周上的等分點編號，由下而上將導程線上的等分點編上相應的編號 ^{[1]  [7]}  ；

2、分別過正面投影和水平投影相同編號的等分點作水平線和豎直線，它們兩兩相交，得一系列交點1′、2′、3′、…、8′，將這些點依次光滑相連，區分可見性即得所求螺線的正面投影,其水平投影重合於圓柱面的積聚投影（圓周）上 ^{[1]  [7]}  。