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蚌線
鎖定
蚌線是一種特殊曲線。沿給定平面曲線C：ρ=f(θ)的極徑方向增加或減少一個定長線段b，這樣得到的曲線ρ=f(θ)±b稱為曲線C的蚌線，或稱為一般蚌線，圓的蚌線就是帕斯卡蝸線。
- 中文名
- 蚌線
- 外文名
- Conchoid
- 發現人
- 尼科米迪斯
- 舉 例
- 尼科米茲蚌線、蝸牛線等
- 類 型
- 特殊曲線
蚌線基本概念
設某一曲線和一個定點O(這一點，我們把它叫作“極”)，過點O引一束射線，並且在每一條射線上從它和已知曲線的交點向兩邊作等長的線段，這些線段末端的軌跡就是一種新的曲線，叫作原曲線關於已知極的蚌線。
[2]
蚌線尼科米茲蚌線
尼科米茲(Nicomedes)蚌線是直線的蚌線（圖1）。
圖1直線的蚌線
蚌線定義
尼科米茲蚌線的定義是把蚌線定義中的已知曲線改成已知直線就可以了，但我們也可以這樣來定義：
從定點O引直線OS交定直線
於
，在OS上取一點P，使
(常數)，當OS繞O旋轉時，點P的這種軌跡稱為尼科米茲蚌線(圖2)。
圖2
蚌線尼科米茲蚌線的極座標方程
設
為曲線上任一點，則
。
由
及
，並設
，得
即
但是
可以變形為
，也就是
，這説明如果
在曲線
上。那麼，
一定也在曲線
上，我們知道
與
是表示極座標平面上同一點，所以方程
和
表示的是同一條曲線，因此方程可以統一表示為
這就是尼科米茲蚌線的極座標方程。
尼科米茲蚌線的直角座標方程為
圖3是各種類型的直線的蚌線。
圖3
對於尼科米茲蚌線
的圖形的分類，如圖4(a)(a>b)，圖4(b)(a=b)，圖4(c)(a
圖4（a）
圖4（b）
圖4（c）
蚌線蝸牛線
蚌線定義
蝸牛線的定義是隻要把蚌線定義中的已知曲線換成已知圓就可以了，但我們也可以這樣來下定義：從圓周上定點O引直線OS，交圓於Q，在OS上取一點P，使
為一常數，當OS繞O旋轉時，動點P的軌跡稱為蝸牛線(圖5)。
[2]
圖5
蚌線蝸牛線的極座標方程
記定圓直徑為a，
，
，那麼定圓的方程為
。
設
為蝸牛線上任一點，相應的
的座標為
，那麼由於點
在定圓上，所以它的座標滿足定圓方程，也就是
因為P在OQ或其延長線上，所以
，因此點P的極座標滿足方程
但是，
可以變形為
，也就是
，這説明如果
在曲線
上，那麼
也一定在曲線
上，我們知道
和
表示的是極座標平面上同一點，所以方程
和
表示的是同一條曲線，所以方程可以統一表示為
蚌線蝸牛線的分類
蝸牛線有三種情況：
(1)a>b時，稱長心臟線(圖6)．如果從外擺線角度看，它又是當
時的長外擺線；
圖6 長心臟線 a>b
圖7 心臟線 a=b
(3)a短心臟線(圖8)，從外擺線角度看，就是當
時的短外擺線。
長心臟線和短心臟線又稱帕斯卡(pascal)蚶線。 ‘
從上面看出蝸牛線是蚌線的一種特殊情況，而心臟線又是蝸牛線的特殊情況。
圖 8 短心臟線 a<b
蚌線心臟線的極座標方程
