艾裏方程式

艾裏函數（Ai(x)），英國英格蘭天文學家、數學家喬治·比德爾·艾裏命名的特殊函數，他在1838年研究光學的時候遇到了這個函數。Ai(x)的記法是Harold Jeffreys引進的。Ai(x)與相關函數Bi(x)（也稱為艾裏函數），是以下微分方程的解：

y''=xy

這個方程稱為艾裏方程或斯托克斯方程。

對於實數x，艾裏函數由以下的積分定義：艾裏函數圖像Ai(x)=1/π*∫cos(t^3/3+xt) dt (0~+∞)把:y = Ai(x)求導，我們可以發現它滿足以下的微分方程：

y''=xy

因為這個方程有兩個線性獨立的解，所以，第二個解成為“第二艾裏函數”。它定義為當x趨於−∞時，振幅與Ai(x)相等，但相位與Ai(x)相差π/2的函數：

Bi(x)=1/π*∫e^(-t^3/3+xt)+sin(t^3/3+xt) dt (0~+∞)

當x趨於+∞時，艾裏函數的漸近表現為：

Ai(x)~e^(-2/3*x^(3/2))/(2sqr(π)x^(1/4))

Bi(x)~e^(2/3*x^(3/2))/(sqr(π)x^(1/4))

而對於負數方向的極限，則有：

Ai(-x)~sin(2/3*x^(3/2)+π/4)/(sqr(π)x^(1/4))

Bi(-x)~cos(2/3*x^(3/2)+π/4)/(sqr(π)x^(1/4))

我們可以把艾裏函數的定義擴展到整個複平面：

Ai(z)=1/(2πi)*∫e^(t^3/3+zt) dt (C~∞)

其中積分路徑C從輻角為-(1/3)π的無窮遠處的點開始，在輻角為(1/3)π的無窮遠處的點結束。此外，我們也可以用微分方程y'' − xy = 0來把Ai(x)和Bi(x)延拓為複平面上的整函數。

以上Ai(x)的漸近公式在複平面上也是正確的，如果取主值為x^(2/3)，且x不在負的實數軸上。Bi(x)的公式也是正確的，只要x位於扇形{x∈C : |arg x| ＜ (1/3)π−δ}內，對於某個正數δ。最後，Ai(−x)和Bi(−x)是正確的，如果x位於扇形{x∈C : |arg x|＜(2/3)π−δ}內。

從艾裏函數的漸近表現可以推出，Ai(x)和Bi(x)在負的實數軸上都有無窮多個零點。Ai(x)在複平面內沒有其它零點，而Bi(x)在扇形{z∈C : (1/3)π＜|arg z|＜(1/2)π}內還有無窮多個零點。

當自變量是正數時，艾裏函數與變形貝塞爾函數之間有以下的關係：艾裏函數與變形貝塞爾函數的關係--

-

-

在這裏，I±1/3和K1/3是方程x^2*y'' + xy' − (x^2 + 1 / 9)y = 0的解。

----

當自變量是負數時，艾裏函數與貝塞爾函數之間有以下的關係：艾裏函數與貝塞爾函數的關係--

-

在這裏，J±1/3是方程x^2*y'' + xy' + (x^2 − 1 / 9)y = 0的解。

----

Scorer函數是y'' − xy = 1/π的解，它也可以用艾裏函數來表示：Score函數