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自守數
鎖定
自守數，亦稱同構數，是指一個數的平方的尾數等於該數自身的自然數。在十進制中，0, 1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625, 7109376, 12890625, 87109376, 212890625, 787109376, 1787109376, ... 都是自守數
[1]
。
- 中文名
- 自守數
- 外文名
- Automorphic Number
- 別 名
- 同構數
- 代表數字
- 5, 6, 25
- 其他名詞
- 平凡自守數
- 意 思
- 某數平方末尾幾位數等這個數的數
自守數簡介
定義：自然數
稱為
-進制下的自守數當且僅當
能被
整除，其中
. 取
時即為此自守數的定義。
注意：當
為素數時，只有平凡自守數。
顯然，
和
是一位自守數（
）
自守數有一個特性，以他為後幾位的兩個數相乘，乘積的後幾位仍是這個自守數。因為5是自守數，所以以
為個位數的兩個數相乘，乘積的個位仍然是
；
是自守數，所以以
為後兩位數的兩個數相乘，其結果的後兩位仍是
，如
。
三位自守數是
和
，四位自守數是
和
，五位自守數是
和
......
我們可以看到，
位的自守數出自
位的自守數。由此得出，如果知道
位的自守數
，那麼
位的自守數應當由
前面加上一個數構成。（僅對
的素因子個數為
時適用）
實際上，簡化一下，還能發現如下規律：
......
定理（自守數的對稱性）：設
為非平凡自守數，
為最小的使得
的數，則
是自守數
證明：觀察易發現，因為
，則
，我們取模
的同餘，有
，最後一個同餘號成立是因為
為自守數
註記：其實對於平凡情形，這個定理也成立，如
是自守數，則
也是自守數。
定理：設
的不同的素因子個數為
，則大於
小於
的自守數的個數為
個
推論，
時，
位數的自守數有且只有兩個，二者它們的和等於
所以，兩個
位自守數，他們的和等於
.
自守數編程計算
JAVA
實現：
public class ZishouNumber {
public static void main(String[] args) {
for(int i = 1; i < 10000; i++){
String strI = String.valueOf(i);
String multiStr = String.valueOf(i*i);
String last = multiStr.substring(multiStr.length() - strI.length());
if(last.equals(strI)){
System.out.println(i + "*" + i + "=" + multiStr + "--> " + i + " is Zishoushu");
}
}
}
}--------------------------
1*1=1--> 1 is Zishoushu 5*5=25--> 5 is Zishoushu 6*6=36--> 6 is Zishoushu 25*25=625--> 25 is Zishoushu 76*76=5776--> 76 is Zishoushu 376*376=141376--> 376 is Zishoushu 625*625=390625--> 625 is Zishoushu 9376*9376=87909376--> 9376 is Zishoushu
c++的實現
#include<iostream.h>
class Self
{
private:
int a[20];
int m,n,p;
public:
Self(int _m,int _n)
{
m=_m;n=_n;
}
void process()
{
int pf;
int j=0;
p=0;
for(int i=m;i<=n;i++)
{
int k=i;
pf=k*k;
while(k!=0)
{
if((pf%10)!=(k%10))break;
k=k/10;
pf=pf/10;
}
if(k==0)
{
a[j]=i;
p++;
j++;
}
}
}
void print()
{
cout<<"自守數的個數為："<<p<<endl;
for(int j=0;j<p;j++)
cout<<a[j]<<'\t';
cout<<endl;
}
};
void main()
{
Self test(1,110);
test.process();
test.print();
}Python的實現
while True：
try:
n=int(input())
for i in range(1+n):
if str(i)==str(i**2)[-len(str(i):]:
print(str(i))
except:
break
- 參考資料
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- 1. A003226 - OEIS ．OEIS[引用日期2021-07-27]
