線性逼近

線性逼近是對逼近工具的一種劃分概念。

設

，討論用 Φ 的元素的線性組合

對 f 的逼近，常常被稱為線性逼近。

例如，代數多項式逼近、三角多項式逼近、插值逼近等。這是線性逼近的一種，而另一種是藉助線性算子的逼近，也即用來逼近函數的工具與函數的關係是線性的，人們亦稱它為線性逼近。例如，傅立葉和及由其產生的種種線性平均的逼近、插值多項式的逼近等。除去上述兩個方面的逼近，人們常稱之為非線性逼近。例如，有理逼近、代數（或三角）多項式的最佳逼近算子等都是非線性的。

聯合逼近是同時逼近函數及其導數或用一個函數同時逼近多個函數的逼近，同時逼近函數及其導數的問題是可解的。

設

有 r 階連續導數，則有不高於 n 階的三角多項式

，使得

同樣，對

，如果 f 有 r 階連續導數，則有不高於 n 次的代數多項式

，使得

其中

是僅與 r 有關的正數，

是 n 次（階）代數（三角）多項式對 f 對最佳逼近值。 ^[1]