線性代數選講

《線性代數選講》將線性代數的主要內容按問題分類，通過對其若干專題的引申、強化、深化與擴充，對有代表性的典型例題的分析與求解，對常用解題方法和技巧的歸納與總結，使學生温故知新，系統地掌握線性代數的基本概念、基本理論和基本方法，深入理解諸多概念之間的內在聯繫，提高分析問題和解決問題的能力，得到一次綜合訓練和充實提高的機會。本書例題豐富多樣，既重視一題多解﹙證﹚，又強調多題一解﹙證﹚、一法多用、以例示理、以題釋法、借題習法。通過選講，幫助讀者開闊視野，擴展思路，加深理解高等代數、線性代數的主要內容，熟練掌握各種解題方法、技巧和規律。

《線性代數選講》可供高等學校的學生學習、複習，以及考研的同學備考高等數學，線性代數時使用，也可供數學老師教學參考。

第一講 行列式的計算

1.1 重要的定理與公式

1.2 利用行列式的定義計算行列式

1.3 計算行列式的基本方法

1.3.1 化三角形法

1.3.2 降階法

1.3.3 遞推法

1.3.4 利用範德蒙德（Vandermonde）行列式計算

1.3.5 加邊法

1.3.6 數學歸納法

1.4 抽象行列式的計算

習題一

第二講 矩陣

2.1 矩陣乘法及可交換性

2.1.1 矩陣的乘法

2.1.2 矩陣乘法的可交換性

2.2 矩陣的方冪與多項式

2.3 可 逆 矩 陣

2.4 矩陣方程

習題二

第三講 分塊矩陣的初等變換及其應用

3.1 分塊矩陣的初等變換

3.2 在逆矩陣中的應用

3.3 在行列式中的應用

習題三

第四講 矩陣的秩

4.1 矩陣秩的概念與性質

4.2 矩陣秩的求法

4.2.1 初等變換法

4.2.2 子式法

4.2.3 用性質或有關結論求秩法

4.2.4 極大線性無關組法

4.3 矩陣秩的等式與不等式的證明

4.4 用線性方程組理論解決矩陣秩的問題

4.5 矩陣多項式的秩

習題四

第五講 秩為1矩陣的性質及應用

習題五

第六講 線性方程組

6.1 含參數的線性方程組的解法

6.2 兩個線性方程組同解的判定

6.3 求兩個線性方程組的公共解

6.4 抽象線性方程組的求解與證明

習題六

第七講 幾種重要的特殊矩陣

7.1 對稱矩陣與反對稱矩陣

7.2 正交矩陣

7.3 冪等矩陣與對合矩陣

7.4 冪零矩陣

7.5 循環矩陣

習題七

第八講 矩陣分解

8.1 矩陣的秩分解

8.2 矩陣的滿秩分解

8.3 矩陣的LU分解

8.4 矩陣的QR分解與Cholesky分解

8.5 矩陣的奇異值分解

8.6 矩陣的譜分解

8.7 矩陣的其他分解

習題八

第九講 微小攝動法及其應用

習題九

第十講 矩陣的跡

習題十

第十一講 線性空間與線性變換

11.1 線性空間

11.1.1 基本概念與主要定理

11.1.2 典型例題解析

11.2 線性變換

11.2.1 基本概念與重要定理

11.2.2 典型例題解析

習題十一

第十二講 矩陣的特徵值與特徵向量

習題十二

第十三講 矩陣的相似與可對角化

13.1 元素已知矩陣的相似與可對角化的判定和計算

13.2 抽象矩陣相似與可對角化的判定

13.3 矩陣可同時對角化

習題十三

第十四講 矩陣的特徵多項式及最小多項式

習題十四

第十五講 二次型與正定矩陣

15.1 二次型的標準形

15.1.1 基本概念定理與基本方法

15.1.2 典型例題解析

15.2 正定二次型與正定矩陣

15.2.1 基本概念與重要定理

15.2.2 正定二次型的判定與應用

習題十五

第十六講 歐氏空間

16.1 歐氏空間概念與性質

16.1.1 基本概念與重要定理

16.1.2 典型例題解析

16.2 正交變換與對稱變換

16.2.1 基本概念與主要定理

16.2.2 典型例題解析

習題十六

第十七講 酉矩陣、埃爾米特矩陣與正規矩陣

習題十七

第十八講 中國剩餘定理及其應用

習題十八

附錄 符號與約定