線性代數輔導講義

本書章節安排與“線性代數”普通教科書中的章節安排基本平行。書中每章的各節有內容要點與評註、典型例題以及習題；各章都設有專題討論，每個專題以典型例題解析的方式闡述了圍繞該專題的解題方法與技巧，每章末附有補充題，是在前面各專題的引領下，對知識點融會貫通、綜合運用的體現，它包含客觀題和主觀題，客觀題的設置意在考查對該章知識點全面而深入的理解，主觀題的設置意在考查對該章知識點的綜合運用能力與掌握。對於典型例題的講解處理得非常細緻，試圖營造一對一輔導的氛圍，以幫助讀者理解和掌握。對於專題的處理，力圖理清知識點之間的脈絡與聯繫，實現對知識的系統理解。

本書可作為學生學習“線性代數”課程時的同步學習輔導材料，也可作為考研複習的輔導教材。

學生們要學好線性代數，首先必須要弄清概念、理解定理；其次要掌握分析問題和解決問題的方法，而要實現這兩點，最好的途徑之一就是研讀例題和演練習題，因此要學好線性代數，就必須要演練一定數量的習題。

在課堂教學中，課程的講授是按知識的邏輯順序展開的，習題則是按章或節編排的，學生們所受到的解題訓練是單一的、不完善的，課堂教學的侷限之一是缺乏對融會貫通的綜合解題能力的訓練與培養，再加上受教學時數的限制，許多解題方法與技巧未能在課堂上講解與演練，當然更談不上使學生系統掌握這些方法與技巧。

一些基礎課程有開設習題課的做法，這對於學生的學習和理解能力的培養和訓練是非常有幫助的。但由於學時和助課人員短缺方面的問題，許多學校取消或削減基礎課的習題課學時。

本輔導講義試圖為改善上述各點做出努力。具體的做法是將知識的細緻性和系統性通過講的方式得以落實。所謂知識的細緻性是指對概念和定理的多角度分析和講解，使之細化，並在例題和習題中將這些細化的內容展現出來，實現各個知識點的突破。所謂知識的系統性是指將涉及多個知識點的綜合題目歸納為一些專題，對各個專題的解題方法和涉及的技巧進行剝絲抽繭式的分析和講解，實現各個知識點間線的突破。講是一個交互的過程，通過交互過程來達成講解和理解的基點。這在書中是不好實現的，為此，我根據以往輔導學生時的經驗，將問題細化，將理解的梯度細化，減少讀者在閲讀和理解本書內容過程中的障礙或阻力，努力營造出一對一輔導時的細緻氛圍。這也是書名中“輔導講義”的一種體現。 ^[1] 

本書內容的展開與普通教科書基本平行，每章各節有內容要點與評註、典型例題以及習題，各章專門設立專題討論一節，每個專題以典型例題解析的方式闡述了圍繞該專題的解題方法與技巧。每章末附有補充題，是在前面各專題的引領下，對知識點融會貫通、綜合運用的體現。它包含客觀題和主觀題，客觀題的設置意在考查對該章知識點全面而深入的理解，主觀題的設置意在考查對該章知識點的綜合分析能力的領會與掌握。

全書包含了175道例題和446道習題。這些題目內容全面，類型多樣，涵蓋了線性代數教學大綱的全部內容，其中不少例題題型新穎、解法精巧，有些例題選自歷屆全國碩士研究生入學統一考試數學試題，這些題目都有中等或中等以上的難度。對於例題，大多先給出“分析”，引出解決問題的思路，然後在分析的基礎上給出詳細的解答過程，其間注重各個步驟的理論依據，努力做到知其然還要知其所以然，細化概念和定理在解決問題過程中的具體體現。之後，將一些要點通過“注”“評”“議”的方式將題目的要點提煉出來。一些題目還配以多種解題方法，以幫助讀者從多個角度比較與歸納解題方法與技巧。對於習題，給出了答案和比較具體的提示。

本書的一個特色是對大多數例題都配以“分析”“注”“評”和“議”，其中：

分析——意在強調解題思路；

注——意在強調求解過程中的關鍵點和重要環節；

評——意在評述本例的技巧、方法和結論；

前言前言議——意在對本例結論和方法的延伸與拓展。

本書的另一個特色是將知識點分專題(37個)展開，以突出對知識點及解題方法與技巧作系統而深入的闡述，同時對一般教材不予證明的結論等補充了證明。

初學者可以把本書作為教輔書與課堂教學同步使用，以幫助弄清概念、理解定理，掌握解題方法與技巧。進一步，本書提供的豐富材料將幫助學習者在期末總複習或備考碩士研究生時，作全面而深入的總結性複習或專題性研究。

本書是筆者多年來從事線性代數教學經驗的積累與總結。

感謝對外經濟貿易大學，是這片沃土滋養了這枚果實；感謝清華大學出版社劉穎老師；感謝書末參考文獻所有的專家們，他們的著作為我的編寫工作帶來了啓發與指導。

歷時三年，數度修改，完成此稿，自知錯誤和不當之處在所難免，懇請專家與讀者不吝賜教，萬分感激。

作者2016年10月於對外經濟貿易大學

第1章行列式1

1.1二階、三階行列式1

1. 內容要點與評註1

2. 典型例題3

習題1-1 4

1.2n元排列5

1. 內容要點與評註5

2. 典型例題5

習題1-2 8

1.3n階行列式的定義8

1. 內容要點與評註9

2. 典型例題10

習題1-312

1.4行列式的性質13

1. 內容要點與評註13

2. 典型例題14

習題1-4 18

1.5行列式按一行（列）展開20

1. 內容要點與評註20

2. 典型例題22

習題1-5 27

1.6行列式按k行(列)展開28

1. 內容要點與評註28

2. 典型例題30

習題1-6 31

1.7克萊姆法則32

1. 內容要點與評註32

2. 典型例題34

習題1-7 35

1.8數域35

1. 內容要點與評註35

2. 典型例題36

習題1-8 37

1.9專題討論37

1. 利用數學歸納法和遞推法計算(或證明)行列式37

2. 關於行列式計算方法的綜合運用40

習題1-9 46

補充題1 47

第2章線性方程組52

2.1線性方程組解的情況及其判別52

1. 內容要點與評註52

2. 典型例題55

習題2-1 60

2.2n維向量空間60

1. 內容要點與評註61

2. 典型例題63

習題2-2 65

2.3線性相關與線性無關的向量組66

1. 內容要點與評註66

2. 典型例題69

習題2-3 73

2.4向量組的秩74

1. 內容要點與評註74

2. 典型例題76

習題2-4 79

2.5矩陣的秩79

1. 內容要點與評註80

2. 典型例題82

習題2-5 86

2.6線性方程組有解的充分必要條件87

1. 內容要點與評註87

2. 典型例題88

習題2-6 91

2.7齊次線性方程組解集的結構91

1. 內容要點與評註91

2. 典型例題94

習題2-7 98

2.8非齊次線性方程組解集的結構99

1. 內容要點與評註99

2. 典型例題101

習題2-8 106

2.9專題討論107

1. 利用向量間的線性相關性求解線性方程組107

2. 關於公共解109

3. n元線性方程組與n階行列式111

習題2-9 113

補充題2 114

第3章矩陣及其運算120

3.1矩陣的運算120

1. 內容要點與評註120

2. 典型例題124

習題3-1 128

3.2幾種特殊矩陣128

1. 內容要點與評註129

2. 典型例題133

習題3-2 134

3.3可逆矩陣134

1. 內容要點與評註134

2. 典型例題138

習題3-3 143

3.4矩陣的分塊143

1. 內容要點與評註143

2. 典型例題152

習題3-4 157

3.5矩陣的相抵157

1. 內容要點與評註157

2. 典型例題158

習題3-5 159

3.6專題討論160

1. 利用線性方程組求解矩陣方程160

2. 利用矩陣間的關係求解線性方程組163

3. 利用向量組的線性相關性討論矩陣方程164

4. 利用矩陣的結構特點求解矩陣方程164

習題3-6 165

補充題3 166

第4章線性空間172

4.1線性空間的結構172

1. 內容要點與評註172

2. 典型例題177

習題4-1 184

4.2線性子空間185

1. 內容要點與評註185

2. 典型例題189

習題4-2 194

4.3正交矩陣、歐幾里得空間195

1. 內容要點與評註195

2. 典型例題198

習題4-3 200

4.4專題討論201

1. 齊次線性方程組及其解空間201

2. 有限維子空間的直和202

3. 正交矩陣及其元素202

4. 齊次線性方程組的解向量及其正交性203

習題4-4 204

補充題4 205

第5章特徵值與特徵向量·矩陣的對角化

1. 內容要點與評註209

2. 典型例題210

習題5-1 211

5.2矩陣的特徵值與特徵向量211

1. 內容要點與評註211

2. 典型例題216

習題5-2 220

5.3矩陣可對角化的條件221

1. 內容要點與評註221

2. 典型例題224

習題5-3 230

5.4實對稱矩陣的對角化230

1. 內容要點與評註230

2. 典型例題232

習題5-4 239

5.5專題討論239

1. 特徵值、特徵向量與線性方程組的解239

2. 一類特殊矩陣的對角化241

習題5-5 243

補充題5 244

第6章二次型·矩陣的合同249

6.1二次型和它的標準形249

1. 內容要點與評註249

2. 典型例題253

習題6-1 260

6.2實二次型的規範形260

1. 內容要點與評註260

2. 典型例題262

習題6-2 265

6.3正定二次型與正定矩陣266

1. 內容要點與評註266

2. 典型例題268

習題6-3 270

6.4專題討論271

1. 利用正交替換討論二次型的最值問題271

2. 兩個n階正定矩陣乘積陣的正定性273

3. 關於正定矩陣的分解274

習題6-4 275

補充題6276

習題答案與提示281

第1章行列式281

第2章線性方程組290

第3章矩陣及其運算306

第4章線性空間317

第5章特徵值與特徵向量·矩陣的對角化324

第6章二次型·矩陣的合同337

參考文獻355